三角函数化简

In[14]:= TrigFactor[1/2 Cos[1] Cos[2 x] + 1/2 Sin[1] Sin[2 x]]

Out[14]= 1/2 Cos[1 - 2 x]

In[15]:= TrigExpand[1/2 Cos[1 - 2 x]]

Out[15]= 1/2 Cos[1] Cos[x]^2 + Cos[x] Sin[1] Sin[x] -
1/2 Cos[1] Sin[x]^2

In[23]:= DSolve[y''[x] - y'[x] - 6 y[x] == 0, y[x], x]

Out[23]= {{y[x] -> E^(-2 x) C[1] + E^(3 x) C[2]}}

画复平面上的单位圆周：

ParametricPlot[{Re[Exp[I z]], Im[Exp[I z]]}, {z, 0, 2 Pi}]

注意Real 与Re并不是一回事，更紧凑的写法：

ParametricPlot[Through[{Re, Im}[Exp[I [Theta]]]], {r, 0, 1}, {[Theta], 0, 2 Pi}]

相当于极坐标：

ParametricPlot[Through[{Re, Im}[r Exp[I [Theta]]]], {r, 0, 1}, {[Theta], 0, 2 Pi}, PlotStyle->None]

复指数函数映射：

ParametricPlot[ Through[{Re, Im}[ Exp[x + I y]]], {x, -1, 1}, {y, -1, 1 },  PlotStyle -> None]

华罗庚《从单位圆说起》中的第一个映射：

a = 0.01 + 0.3 I;
ParametricPlot[ Through[{Re, Im}[(r Exp[I [Theta]] - a)/(1 - Conjugate[a] r Exp[I [Theta]])]], {r, 0, 1}, {[Theta], 0, 2 Pi}, PlotStyle -> None, PlotRange -> All]

（华罗庚《从单位圆说起》中的第二个映射）

[Theta] = 3;
ParametricPlot[
 Through[{Re, Im}[(Exp[I [Theta]] (x + I y))]], {x, -1, 1}, {y, -1,
  1}, PlotStyle -> None]

单位圆周上的映射：

a = 1;
ParametricPlot[
Through[{Re,
   Im}[(1 - a Exp[-I [Theta]])/(1 -
     Conjugate[a] Exp[I [Theta]] )]], {r, 0, 1}, {[Theta], 0, 2},
PlotStyle -> None]

求复数的共轭：

Refine[Conjugate[r + b I], (r | b) [Element] Reals]