说明：因杨六省老师之邀，先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》、《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数的证明》以及《对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑》、《数学界现代版指鹿为马——‘√2= p/q（p，q互质）’是‘√2不是有理数’的反论题？》、《在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明中隐藏着一个“复杂问语”的谬误》、《√2不是有理数的两个广为流传的无效证明》等相关质疑论述进行了转载，分别已经有数百或者数千人次的点击量。昨天杨六省老师又寄来“通过举反例加深对反证法两个要点的准确理解”新作，邀请转载，因我本人对数学一窍不通，仅仅出于帮助开展学术讨论，明辨是非，弄清正误之目的，再次将其转载于下，敬请数学行家进行评议，也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

通过举反例加深对反证法两个要点的准确理解

杨六省

Email: Yangls728@163.com 

反证法是一种常用的重要的证明方法，初中数学课本就已开始介绍和应用它。

关于反证法，《逻辑学大辞典》（ 彭漪涟,马钦荣/上海辞书出版社，2004年，第1版）第375页写的很是简明：通过确定与论题相矛盾的命题（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的间接论证。反证法的论证过程是：

    论题：φ

    设立反论题：非φ

    确定反论题非φ假

    根据排中律，非φ假，所以，φ真。

笔者认为，“反论题假则原论题真”是反证法的灵魂，也是检验反证法是否被正确应用的试金石。把握好这个灵魂需要做到两点：一是反论题的设定正确；二是推理正确，二者缺一不可。但是，用举反例的方法来讲授反证法上述两个要点的资料似乎并不多见。为了弥补这一缺陷，使关于反证法的教学更加具体充实，更具说服力，特写此文。就以毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明作为反面教材吧。

质疑1：毕达哥拉斯学派把√2=p/q（p，q互质）设定为√2不是有理数的反论题，合理吗？

在反证法中，反论题的设定务必满足“反论题假则原论题真”。原论题“√2不是有理数”的表达式是√2=p/q（p和q不全是整数），毕达哥拉斯学派把√2=p/q（p，q互质）设定为反论题，合理吗？众所周知，√2不是有理数（说明：笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，笔者在说理中有理由把“√2不是有理数”作为论据加以应用），所以，√2=p/q中的p和q不全是整数。这样说来，谈论√2=p/q中的p与q是否互质以及√2=p/q（p，q互质）是真是假就是没有意义的（注：讨论√2=p/q（p和q不全是整数）的真假是有意义的）。基于所设定的所谓反论题√2=p/q（p，q互质）无真假可言，从而无法套用反证法，故毕达哥拉斯学派把√2=p/q（p，q互质）设定为“√2不是有理数”的反论题是错误的。退一步讲，就算依了论证者的错误认知（注：论证者认为，√2=p/q（p，q互质）为真是指式中的p与q互质，√2=p/q（p，q互质）为假是指式中的p与q不互质），结论也是一样的。理由是，互质概念及其真假都是针对两个整数而言的，所以，“p，q互质”为假本身就蕴涵着“p和q全是整数”之意；另一方面，原论题√2=p/q（p和q不全是整数）为真表明“p和q不全是整数”，这与前一结论不相容，这说明就我们所讨论的问题而言，“反论题假则原论题真”不成立。

也许有人会辩解说，“√2不是有理数”的反论题确实应该是√2=p/q（p和q全是整数）。但是，由√2=p/q（p和q全是整数）可以推出√2=p/q（p，q互质）呀！

质疑2：由√2=p/q（p和q全是整数）能推出√2=p/q（p，q互质）吗？

笔者的反驳意见是：若真能推出，那么，其逆否命题就是“后者假则前者假”。但是，由p与q不互质是推不出p和q不全是整数的。

那么，由√2=p/q（p和q全是整数）到√2=p/q（p，q互质）的推理，问题究竟出在什么地方呢？我们来看一下人们是怎样推理的：假设√2是有理数，而有理数总可以写成最简分数的形式，所以，“假设√2是有理数”也即“假设√2=p/q（p，q互质）”。事实上，当人们说“假设√2是有理数”时，指的是“假设√2=p/q（p和q全是整数）”；而当人们说“有理数总可以写成最简分数的形式”时，实际上是针对一个独立存在的分数而言的。但是，人们表述中的分数“p/q（p和q全是整数）”并非独立存在，因为它处于“√2=p/q（p和q全是整数）”之中，尤其是，“√2=p/q（p和q全是整数）”还是一个矛盾式呢！简言之，对于一个处于矛盾关系中的分数表达式，我们对其实施最简分数化，这种做法是否合理是应当受到质疑的。事实上，上一段落中的证明结论已对此处的质疑作出了裁决。

质疑3：由√2=p/q（p和q全是整数）能推出p和q都是偶数吗？

答案是否定的（理由参见下文“本文作者关于√2不是有理数的证明”）。

质疑4：由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，能够说明√2不是有理数吗？

    人教版数学课本在证明的末尾写道——“p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。”

笔者认为，由p和q都是偶数（注：姑且不论获得此结论的推理是否有效）与假设p，q互质矛盾，只能否定假设“p，q互质”，而不能说明√2不是有理数，因为由p与q不互质是推不出p和q不全是整数的。

综上所述，不难看出，毕达哥拉斯学派在关于√2不是有理数的证明中，反论题的设定是错误的，整个的推理也是错误的，故其证明是无效的（顺便说明一下，我们所看到的，人们关于√3等是无理数的证明也是无效的。笔者认为，要用反证法证明√2、√3等是无理数，推出的矛盾应该是涉及无限的矛盾，而这种矛盾与整数概念不相容）。

不要以为，两个论题之间只要表面上存在矛盾（注：这里是指√2=p/q（p，q互质）中的“互质”表示p和q全是整数，而√2=p/q（p和q不全是整数）表示p和q不全是整数），它们就是互为矛盾论题。金岳霖在其主编的《形式逻辑》（人民出版社，1979年第1版）第291页写道：“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。”（笔者注：矛盾论题即反论题）矛盾判断是指，其中一个真则另一个假，一个假则另一个真，二者不能同真，也不能同假。简言之，矛盾判断务必满足排中律。但是，由上文“质疑1”可知，√2=p/q（p，q互质）与√2=p/q（p和q不全是整数）不是矛盾判断，因为前者根本就无真假可言；再说，就算依了论证者的错误认知，二者却可以同假，理由是，√2=p/q（p，q互质）为假时，p与q不互质，但p和q仍都是整数，而当p和q都是整数时，√2=p/q（p和q不全是整数）为假。

关于反证法，存在着一种糊涂观点，例如，网上有人说——“在反证法中的假定下，不管推出任何的矛盾命题都行，哪怕这种命题，并不能直接否定反论题，或确立原论题。只要运用的是正确的推理规则，严格地推出的是相互矛盾的任何命题，就可推翻假定，而使定理得证。”笔者的反驳意见是：①如果推出的矛盾不能否定反论题，不能确立原论题，那么，应用反证法何用？②如果反论题的设定正确，运用的又是正确的推理规则，推出的矛盾又怎么会不能否定反论题，不能确立原论题呢？难道反证法是不一致的？这怎么可能呢？反证法可是一种不容置疑的科学方法呀！它怎么可能会内含矛盾呢？这只能说明持上述观点的人所说的“运用的是正确的推理规则”和“严格地推出”，都是他自认为真的，其实是假的。

附：

（1）人教版《数学》课本七年级下册第58页中的证明

假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

√2=p/q，

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p²=2q².

    由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

    因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

                                     q²=2s².

    所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

    这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

（2）本文作者关于√2不是有理数的证明

命题：对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。

证明：我们总可以把√2= p/q写成p²=2q²（q是整数）的形式。

① p不可能是偶数

假设p是偶数，设p=2r（r是整数）,代入p²=2q²,得q² =2r² 。如果p²=2q²（q是整数）中的p是偶数，那么，q² =2r²（r是整数）中的q也是偶数；……这样下去，就会推出p和q均含有无穷多个因数2（注：例如，关于p，开始假设p=2r；后面还会假设r=2t；……），从而说明p和q均不是整数，但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾，故对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是偶数。

② p不可能是奇数

理由是，奇数的平方不可能是偶数。

综上所述，对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是整数，换一种说法，对于√2= p/q而言 ，其中的p和q不可能全是整数。