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...高度竞争...导致了创造力的窒息*。

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（接上回*）Proof. (of Theorem 1.4) This follows from Theorem 1.6 in dimension ≤ d, Theorem 1.1 in dimension ≤ d-1, and Lemma 3.2.

评注：定理1.4的证明（其实只是个壳，实质在Lemma 3.2）。（此时定理1.6已证明）。

评论：回忆一下，当前正在读文章的最后一部分，内容是“主要结果的证明”，文章的前五部分是做准备。（为了贯彻“回到顶端”的哲学，之前从第二部分跳到当前部分，并从最后一行开始理解）。

注：乍一看，怎么要用定理1.1去证明定理1.4？（此时定理1.1尚未证明）。翻阅此部分最前面的假设，想起来了，这部分的证明是“整个儿的数学归纳法”，即假定所有要证的定理都对d-1及以下的维度成立。

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温习：定理1.4的表述：若 (X, B) 是 eps-lc weak Fano，则 lct(X, B, |A|R) 有正的下界（A:= -(Kx+B)）。

简记：EWF ~> lct ≥ t。（大话：标准配对 EWF 有自带“大内” |A|R，而相应的 lct 有正的下界，也就是“花费”要有下限，美其名曰“皇家的体面”）。

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温习：定理1.6的表述：（太长了，没帮助，略。起个名字：花费控制定理）。

大话：皇家和他的大内们。先来个基础配对 (X, B)，eps-lc型的，projective。这就是“皇家”了，X是皇帝。X 任命大内 A，组建大内系统|A|R。这个 A 当然要“神通广大”（very ample），以至于 A - B 也广大（ample）。这就产生一个问题，A失控了怎么办？先来个约束A^d<=r。还不放心？皇帝又任命钦差大内 M，加强型的（R-Cartier R-divisor, M>= 0），构成系统|M|R。若 A 和 M 也做差，该有系统 |A - M|R，要求是非空的。折腾了这么一通，关键在于控制花费：

lct(X, B, |M|R) ≥ lct(X, B, |A|R) ≥ t. 简记：

A  ~ M

 |   \

X     B

特评：A 和 X, B, M 都有相互作用（A is a very ample divisor on X; A - B is ample; |A-M|R ≠ Φ），受到控制 A^d ≤ r。定理1.6的主旨是控制大内系统 |A|R的花费。为此，找一“同行” M，组成参照系统 |M|R，用来控制上界。当然，出于皇家的体面，也希望有下界。条件里要求 (X, B) 是 eps-lc, projective，属于“较强”的配对类型（简记：EP）。A 和 M 的约束 、属性暂时记住，回头再理解。

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温习：定理1.1的表述：X 是 eps-lc weak Fano, 则 {X} 形成有界族。

简记：EWF ~> { X }b

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跳点：Lemma 3.2. Assume that Theorem 1.6 holds in dimension <= d and that Theorem 1.1 holds in dimension <= d - 1. Then Theorem 1.4 holds in dimension d.

评注：这有点像把后面要证明的事情分散到前面做了。（这里就体现出“来自未来/顶端”的“照耀”效应：我是从后往前读，头脑中装着“未来/顶端的记忆”，忽然跳到更前面的“现在/山腰”，我就清楚这个“现在/山腰”对于“未来/顶端”的意义或起到什么作用。如果我从前往后闷头读，到了这里就会感到困惑：这个引理的表述不是很奇怪吗？其实是为最后的数学归纳法做准备，或者只是一种化整为零的做法）。

特评：对照前后两处蓝色字体可知，第六部分对定理1.4的证明只是个壳，实质全在这个Lemma 3.2。

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小结：看得出，引理3.2是从后面的主程序里挪出的。（看来，今天的主菜是温习了定理1.6）。

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