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随机游走定义中的逻辑悖论

已有 2407 次阅读 2021-11-30 14:35 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

随机游走(Random Walk)是《随机过程》教科书中用于描述动态随机现象的一种基本随机过程,许多重要的随机过程都可由它派生出来,其理论不仅在随机过程中占有相当重要的地位,而且也是自然科学、工程技术和社会科学研究动态随机现象的重要数学工具。

一、随机游走定义

一个质点在水平直线上每隔时间∆t随机移动一步(图1),每次移动前用抛硬币结果来决定质点移动的方向。若抛硬币结果为正面向上,质点向右移动一步;若抛硬币结果为反面向上,质点向左移动一步,则称质点运动为随机游走。

图c1.png

1 随机游走示意图

  定义:ξ1ξ2……ξn独立同分布(i.i.d.),Pξi =1= Pξi =-1=1/2S0=0,则称

Sn=ξ1+ξ2+……+ξn                    1

为从原点出发的简单对称随机游走。

Sn的物理意义为一个质点移动n步后距原点的距离,图2为质点随机游走的一条位移曲线。

图c2.png

2 随机游走位移曲线

二、随机游走定义逻辑悖论

“悖论”是英文paradox一词的意译,从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义:如果某一理论的公理看上去是真实的,它的推理规则也是合理的,但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题,那么,我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

由式(1)的随机游走定义公式,可直接计算出Sn的数学期望和方差

E(Sn)=0                                      2

D(Sn)=n                                      3

  在描述实际随机现象时,《随机过程》将式(1)的随机游走定义公式改写为下面的随机游走数学模型

      Sn=Sn-1+ξn                                  4

例如,金融数学将Sn当作明天的股票价格,则Sn就等于在今天的股票收盘价Sn-1基础上,再增加一个随机变化的增量ξn

质点在第n-1步完成后,到达图2所示的位置b,因此Sn-1=b为一常数,根据式(4)也可计算出Sn的数学期望和方差,有

E(Sn)=b                                      5

D(Sn)=1                                      6

显然,与式(2)和式(3)的结论互相矛盾。

三、结论

科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系,必然要求内部逻辑的完备性,科学理论内部必须要在逻辑上自洽,不应出现自相矛盾的逻辑悖论。逻辑完备性是判断科学理论客观真理性的重要评价标准之一,一旦在某个科学理论中发现了逻辑悖论,则表明该理论的逻辑完备性遭到破坏,该理论被证伪。爱因斯坦曾经说过:“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中,只要有一个被证明是错误的,它就必须被抛弃;要对它进行修改而不摧毁其整个结构,那似乎是不可能的。”


为什么Sn-1=b为常数?

沿用了《随机过程》教科书的研究方法,《随机过程》在讨论布朗运动B(t)的首中时Ta时,假设B(Ta)=a,这里a就是常数(图3)。

首中时.jpg

图3 布朗运动首中时




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