做一些工程材料的研究或许不需要懂得深奥的群论，但如果看不懂国际表的空间群记号，则会有些麻烦。

空间群是描述晶体拥有的对称性的工具。点群则可以简单看成适用于分子。理想晶体是无限大的，所以沿着三个晶轴方向均有平移对称性。相对于分子而言，晶体可以产生一些新的对称性，例如螺旋轴，滑移面等。如果一个分子沿着 z 轴旋转 180^o 无法还原到它本身，那么它就没有这个二重旋转轴的对称性。可是有些晶体虽然沿着 z 轴旋转 180^o 也无法还原为它本身，但若旋转后继续沿着 z 轴平移半个晶格常数，就能回到它本身，那么它的确具有某种对称性。这种对称性不包含在任何一种点群的操作中，因为点群不存在平移的操作。晶体若具有“旋转再平移”之后不变的特征，就称它具有一个螺旋轴。同理，晶体若具有“镜像再平移”之后不变的特征，就称它具有一个滑移面。

一百多年前人们已经证明了有且只有 230 种空间群。其实 230 种并不多，也不算很难。在工程材料研究中最困难的是，晶体学的论文给出的空间群经常不是标准形式，而算上非标准形式，真的很难统计到底可以有多少种不同标记的空间群了。

下面我们进行一些实战分析。

1. 第 1 号空间群 $P1$

属于三斜晶系，对称操作是：

第 1 号空间群是对称性最低的，但不代表它没有任何对称性。它只是有最起码的沿着三个晶轴方向平移的对称性，当然这种对称性是不需要特别强调的。

空间群的记号是 P1。第一个字母 P，可以理解为总是代表它的布拉菲格子的类型。P 是 Primitive，意思是没有体心，面心，底心等等价位置。1 就是 1 本身，代表没有进行任何对称操作。

但是第 1 号空间群并不是只有标准形式。非标准形式还包括  A1，B1，C1，F1 和 I1。

F1 代表还要考虑面心位置的三个等效点。其对称操作是：

可见在非标准的 F1 空间群情况下，每一个原子坐标都能找到另外三个等效的坐标。

I1 代表还要考虑体心位置的一个等效点。

A1，B1 和 C1 指的是要考虑底心位置的一个等效点。A1 的底心位置位于 b-c 轴所在的平面上，其余依此类推。

2. 第 2 号空间群 $P\bar{1}$

同样属于三斜晶系。第一个字母 P 代表了是简单格子。第二个 1 上面有一个横线，代表关于空间反演，这里是指关于原点反演的对称性。因此对称操作为：

中心反演之后的坐标也包括了在内。这个空间群也有相应的非标准记号，不再赘述。

3. 第 3 号空间群 $P2$

这就开始进入了单斜晶系。P2 其实是一个简化的记号，其全称是 $P\ 1\ 2\ 1$ ，三个数字分别应该分配到 a，b，c 轴上。由于单斜晶系按照约定只有 $\beta$ 角不是直角，所以 b 轴是较为特殊的。b 轴分配的数字 2 也与其他轴的不同。2 的意思是旋转 $2\pi/2=\pi$ （180^o）不变的对称性，考虑单斜晶系的具体情况，只有沿着独一的 b 轴才有可能。如果执行这种旋转操作，则原子沿 a 轴与 c 轴的坐标值都应该取反，所以其对称操作为：

空间群记号的第二个字母如果是数字，代表旋转对称性，而且常常标识了该空间群属于什么晶系。第二位是 4 的代表四方晶系；第二位是 6 的代表六方晶系；第二位是 3 的代表三方晶系；但第三位是 3 的却代表立方晶系，不能混淆。

4. 第 4 号空间群 $P2_1$

与第 3 号空间群的区别在于多了一个脚标 1。当然由于属于单斜晶系，在约定独一的正交轴为 b 轴的情况下，它代表着全称为 $P\ 1\ 2_1\ 1$ 的记号。

2后面带一个脚标 1代表具有螺旋轴，每次沿着 b 轴旋转 180^o 以后还需要沿着 b 轴再平移 1/2 个相应晶格矢量，才能完成对称操作。所以其对称操作为：

5. 第 5 号空间群 $C2$

与第 3 号空间群也非常相似，只不过 P 换成了 C，变成了底心单斜。记住单斜晶系约定的独一正交轴为 b 轴。读者可以思考为什么本空间群的底心字母选择了 C 而不是 A 或 B。首先可以排除 B，因为如果底心在 a-c 平面上，则并不是真正的底心单斜格子，而是可以约化为简单单斜。相反，底心在其余两个平面上都是真正的底心单斜，如果试图进一步约化则只能得到“二斜”。二斜晶系是不存在的，它只不过是三斜晶系的特殊情况，或者代表其他的某种更为复杂的结构。所以本空间群放在首位的字母，可以是 A 或者 C。那么我们只是约定取 C，你也可以选 A，但记号就不再是本空间群的标准形式了。要注意的是不要把 C2 写成小写的 c2。首位的字母必须是大写的，代表布拉菲格子的类型，而小写的 c 则代表 c 类滑移面。

来看一下对称操作：

可见与 P2 相比，只不过多了每组坐标都可以平移到相应的 a-b 面底心位置的操作。

6. 第 6 号空间群 $Pm$

由于仍然属于单斜晶系，按照约定，可以推断出全称为 $P\ 1\ m\ 1$ 。它的意思是存在与 b 轴方向垂直的镜像反演面（m）。对称操作非常简单：

7. 第 7 号空间群 $Pc$

单斜晶系，全称为 $P\ 1\ c\ 1$ 。意思是存在与 b 轴方向垂直的 c 类滑移面。简单地说，滑移面与镜像面（m）非常相似，只不过在反演以后要继续沿着某个方向滑移才算完成对称操作。与 b 轴方向垂直的滑移面并不一定仍然沿着 b 轴滑移，可以沿着 a，b，c 轴（对于 a 类，b 类，c 类滑移面），沿着两个轴的单位矢量和的方向（n 类），或者是更为复杂的 d 类与 e 类。

对于本空间群而言，反演必须配合沿着 c 轴滑移，可以从对称操作中看出这是它与 Pm 的唯一差别：

值得提到本空间群的非标准形式，包括 P1a1，P1n1，B1a1 与 B1d1 四种。

P1a1 只不过是滑移方向改为沿着 a 轴，与 P1c1 基本等同。

P1n1 就不同了，由于存在 n 类滑移面，对称操作变成了：

可见沿着 a 轴与 c 轴同时滑移了半个基矢长度。

B1a1 的情况更为复杂。由于首字母从 P 变成了 B，容易以为这是一个底心单斜结构。然而前面已经分析过，真正的底心单斜只能以 C 或者 A 开头。以 B 开头说明可以约化成简单单斜的原胞，约化以后才容易看出是真正属于第 7 号空间群。B1a1 的对称操作为：

推导过程是这样的。首先把 B 看成 P，先写 P1a1 的对称操作，然后再增加底心平移的操作即可。

值得注意的是 B1a1 的结构并不对应一个“原胞（primitive cell）”，它可以分解成两个 P1n1 的原胞。但在晶体学中却喜欢使用类似 B1a1 这种非标准形式，与固体物理的风格不同。其原因是晶体学分析中喜欢正交或者接近正交的结构。B1a1 虽然也是单斜的，但有可能非常接近于正交体系。然而，若约化成 P1n1 的原胞则其形状可能很怪异。所以在进行固体物理学研究时，需要有能力将晶体学的非标准空间群化为其标准形式，并获得真正的固体物理学原胞。很多第一性原理软件都具有这样的功能。

B1d1 是其中最为复杂的一种。它除了不是固体物理学原胞之外，还包含了 d 类滑移面，涉及到平移 1/4 的操作。这里暂不讨论。