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与师生谈学习门径2：增加深度的窍门1 精选

已有 15621 次阅读 2012-11-17 15:48 |系统分类:教学心得

学：学生，教：教师，李：李晓榕。

注重思想、原理、概念

李：我们现在进一步讨论如何增加深度。怎么学才能增加深度？有些什么办法？

教：我有个体会。不管这东西有多复杂，可能数学描述非常复杂，但是它背后的思想并不复杂。一篇论文，如果能先了解它背后隐藏的思想，再去看那东西，会容易得多。

李：背后的思想复杂，就不会有多少生命力。重要的思想都比较浅易，这就是我们在谈研究策略时说的简易性。我们要注重原理、思想，“好学深思，心知其意”（司马迁之语），而不是技术细节。对基本思想、原理和概念要尽可能理解透彻，不仅知其然，而且知其所以然。“实事求是”还不够，还应“求其所以是”。这一条对加深理解至关重要。善于弄清概念是数学家的看家本领。如果有一个感兴趣的重要东西不清楚，我心里常常会不舒服，想要弄明白。在此过程中，可能会出现别的不清楚的东西，这样一环套一环地弄明白，就加深了。不过，所花的功夫也只有自己知道。我挺喜欢这个警句：小人议论他人，凡人谈论事件，伟人讨论思想。（Little people discuss other people. Mediumpeople discuss events. Big people discuss ideas.）它简明扼要地说出不同人的区别。老在议论别人，张家长李家短，这是比较庸俗的人，爱说是非者，定是是非人。一般人爱谈论事件。真正行、高瞻远瞩的人看重的是思想。我们要力争多注重思想，避免大谈特谈事件，尽量少议论他人。

教：我们在学习时，要看清问题的本质。举个例子。线性代数有很多内容，学了之后，我们应该问：它到底是什么，能解决什么样的问题？后来我知道线性代数本质就是一个数学工具，它是矩阵的描述工具，是从解线性方程来的。所以，不应被问题的解法所局限，要把握问题的本质，抽象概括后，就会有更好的领悟。

李：说线性代数是矩阵的描述工具，不大妥当。我们讨论研究策略时强调过，就是四部曲：问题、描述、解法、评估。首要的是：问题的本质是什么，一定要搞清。这是四部曲里最重要的，但是大家往往只注重解法。著名计算机学家DonaldKnuth说：我当学生时，老是徜徉于数学书的第一章，思考定义并尝试对之做些小改动，由此出发看看能发现什么、做些什么。（All the way through mystudent work I had been joyfully stuck in Chapter One of my math books,thinking about the definitions of things and trying to make littlemodifications, seeing what could be discovered and working from there.）

教：以前在学线性系统的时候，做了好多题去判定一个系统是否能控、是否能观，等做了很多题以后，对于什么是能控、什么是能观，还是有些概念模糊。

李：是啊，很多时候并未搞清本质。把Controllability和Observability译为“可控性”和“可观性”比“能控性”和“能观性”更好。“能”表示主观能力所及，“可”表示客观条件容许，“能”是主动的，“可”一般是被动的，而这儿是被动的。比如说某人“可爱”和“能爱”、“可笑”和“能笑”是完全清晰而截然不同的，说某人是“可人”和“能人”根本不同，说某物“可口”而某人“能吃”，或者“他很能说，不愁没有可说之事”。同理，我们有“可控硅”而不是“能控硅”；可靠性、可塑性和可视性中的“可”都不是“能”；不可理喻、不可救药、不能自拔、不能自已中分别是“可”和“能”。一个“能控”、“能观”的系统应该是一个能够控制、观察其他东西的系统。某状态可控就是“存在一个控制，它能在有限时间内，将系统从该状态转移到任何其他状态”。某状态可观就是“该状态可由系统在有限时间内的输出（及输入）唯一确定”。系统可控和可观的本质分别是，它的所有状态可以被有效地控制或者由外部信息唯一确定。

学：汉语里有些时候被动被隐藏起来了。说“能控”就是“能够被控制”，“能观”就是“能够被观测”。“能”用得比“可”更多一点。

教：我觉得没有什么大不了的。“能控”可以理解为“能够被控制”，有必要这么死抠字眼么？

李：如果这么不求甚解，那我几乎无话可说，这决不是做学问的态度。做学问没有“一名之立，旬日踌躇”的学风是难以深入的。大家知道，可控性和可观性是控制系统理论中最基本、最重要的概念之一。照你们这么说，“他很能爱”也可以理解为“他很能够被爱”了，贾岛和韩愈也没必要苦心“推敲”到底是用“推”字好还是用“敲”字好。史学大家陈寅恪晚年双目失明，著述需要助手帮助，有时晚上想到一种写法或修改，生怕睡后忘了，不敢睡觉，直到第二天助手来了。他宁可不出版，也不许出版社更动一字。如此认真，难怪成就如此之高。高斯对用cos²(x)表示[cos(x)]²不以为然，认为cos²(x)应理解为cos[cos(x)]。用cos²(x)表示[cos(x)]²之所以流行，我想是因为cos²(x)到底比[cos(x)]²简单些，而“能控性”并不比“可控性”简单。这还使我想起国际著名数理逻辑学家、计算哲学家王浩的一个关于演讲题目的故事。八十年代他在北大做演讲，曾考虑过以“中国与西方哲学”为题，但这个题目有歧义，既可理解为他的原意“‘中国’与‘西方哲学’”，也可理解为“‘中国哲学’与‘西方哲学’”。为避免歧义，他想改成“西方哲学与中国”，但这又显得前重后轻，前长后短，比重、强调不当。他颇费踌躇，为此专门请教著名语言学家朱德熙。朱说“西方哲学与中国”这个表达没有问题。即便如此，王浩仍不放心，开场时就说：“朱德熙说没有问题，那应该没有问题。但如果有问题，你们找他。”（我觉得，也许“东方中国与西方哲学”更妥，既无歧义，又可免去上述顾虑。）你看，大学者们是多么一丝不苟、反复推敲！难道这都是偶然巧合？另外，用“可”比用“能”更雅一些。这里翻译得文气一点可能更好。总之，从“信、达、雅”各方面来说，“可”都更好一点。“能”和“可”的区别也很像英语“can”和“may”的区别。不求甚解者可能也认为它们没有区别。
言归正传。要注重思想、原理、概念，对它们的理解要精益求精。此外，多问为什么有利于加深理解。仅仅知道对错，还不够。举例来说，“独立”是概率论中的基本概念，它的深层本质是什么？

教：就是两个东西不相关，互相不影响，没有关系。

李：这是拘文牵义，等于说：“独立”就是独立。这是用日常语言来解释日常的“独立”概念。事实是：联合事件的概率不好算，而各事件概率之积好算得多。不过，它们相等是有条件的。为了方便起见，这条件简称为“独立”。起这个名字，是因为它与日常生活中的相互独立（不相关、没影响）概念有不少相通之处。所以，独立事件概念的本质是：事件之积的概率等于事件概率之积。换言之，概率运算与乘积运算可交换的条件就称为“独立”。与此类似，“互斥”这一概念的本质是：事件之和的概率等于事件概率之和，互斥事件的交集为空。在这两例中，“独立”和“互斥”这两个词选得不错。尽管如此，在理论中套用日常生活概念仍可能出错。
有时，科技术语选词并不贴切，这时更应特别留心。比如，两个随机变量的“相关系数”就很有误导性。所谓“相关系数”，其实是“线性相关系数”，说到底是它们“接近于直线的程度”（可称为“似直度”）的度量，即它们的“联合分布近似地成为一条直线”的程度的度量，并非它们相关程度的度量。这儿，“相关系数为零”（uncorrelated）与“独立”(independent)有天壤之别。我经常看到社会学科、人文学科、甚至自然科学（比如生物学或生理学）的不少领域，在对实验数据的统计分析中犯这种把“相关系数为零”理解为“独立”或“无关”的严重错误。这个常见错误与“相关系数”这一名称的误导脱不了干系。另外，有些科技术语没有对应的现成的日常概念，比如随机过程的ergodicity被勉强译为“遍历性”或“各态历经性”。
总之，对于科技概念和术语，千万不要望文生义，执著于词汇的本义，虽然可以借鉴日常之义，但不能用它来代替科技术语的真正含义。与此相关的是：似是而非、一知半解、不求甚解是治学的大忌，尤其是力求精深的宿敌。应该不懈地追求真知灼见。

教：关于望文生义，我觉得有两方面。一是“望文生义”可能恰恰是求甚解的必经阶段。尽管刚开始时所生的“义”不是本质的义，但应该有些关联，虽然有偏差。随着慢慢积累，可以将其“义”逐渐修正到本质的义。另外，教材的作者可能就是望文生义，以讹传讹。国内导航领域的教材就没法看，只有看了国外原版才真正懂得说的是什么。

李：是的，要“想实然”而不是“想当然”，不要拘文牵义，更不该望文生义，但要循名责实、顾名思义、执名索义。“望文生义”是执著于词汇的字面义，穿凿附会，郢书燕说，曲解原意。而“执名索义”指的是透过名称、定义和描述，努力把握本质、真义和背景。还有，我们现在讨论的是如何增加深度，要求理解深刻到位，所以不该望文生义，不求甚解。泛读时不得已而“望文猜义”也未尝不可。总之，要积极执名索义，切忌望文生义。

教：照您所说，“独立”等概念的引进纯粹是为了方便，没什么大不了的？

李：能够带来方便，绝非小事，甚至可以说是“大莫甚焉”。负数的引进是为了便于做减法，有理数的引进是为了便于做除法，实数的引进是为了便于开方等运算，复数的引进是为了便于方程求根等。向量、矩阵、张量、势、群、环、域等等的引进无不由于处理某些数学问题的方便。语言、概念的产生也是出于方便。一个重要概念的提出，能够给思维提供方便，进而大大简化思维过程，那就是丰功伟绩。其实，几乎每一概念都含义颇深，人类知识和认识的传承离不开概念化。人类不断把以往的知识和认识提炼、浓缩为概念，后代只要理解这些概念就得到了精华，不需要纠缠于细节。所以，每一科学概念大都是丰富知识的凝聚，值得好好理解体悟。我想到一个例子。先问一个问题：给定一个随机变量的分布，它的20阶矩是否必定唯一？

学：不一定……

教：肯定唯一，除非积分发散。

李：积分发散是什么意思？

教：……

李：事实是：矩如果“存在”或说“收敛”，必定唯一。积分发散就是积分取多值，其值取决于如何求积。数学不能容忍歧义。所以，数学不考虑发散的情况。这是吸取惨痛教训后得到的。大数学家欧拉研究无穷级数，硕果累累，但也错误百出。比如，他研究级数1-1+1-1+1-1+……,结论是：它的和等于1/2。我们现在会哑然失笑。无穷级数真是有趣、神秘，它可以给出各种不同的数值，使人大开眼界。当时的混乱，不亚于后来康托尔草创集合论时给认识带来的混乱。后来，人们发现，有些无穷级数确实可取多值。为了坚持“数学不能容忍歧义”这一原则，数学家们忍痛割爱，不考虑、不理睬发散级数，只研究收敛级数，得到不少级数收敛的判据，以及不少级数的收敛值，也就是唯一值。极限、积分等概念也都类似。所以说穿了，极限存在= 极限有唯一值；级数收敛 = 级数有唯一值；积分存在 = 积分有唯一值。注意，这儿“存在”远不如“收敛”更贴切，其实“单值”更准确。多值的积分难道不存在吗？它们大量存在，甚至比单值积分还多得多，只是数学王国迄今拒斥它们而已。为了避免歧义，数学家们“睁着眼睛说瞎话”，不承认多值积分、多值极限、多值级数的“存在”或者“意义”。

学：您都是从哪些地方看到这些说法的？当一个级数取值为无穷大时，我们有时说它发散，有时说它等于无穷大。这是为什么？这种级数的取值唯一吗？

李：不是看来的，是自己逐渐体悟出来的。无穷大并不唯一，那是一整个世界，是集合论的研究对象。一般来说，这样一个发散级数可能取各种不同的“无穷大之值”。所以，比较严格时一般只说该级数发散。然而，从“非有限大”这个含义来说，无穷大是唯一的：只有无穷大不是有限的，没有其他的“非有限大”。所以，发散到无穷大有特定的含义，与其他类的发散大不相同。正是在这种含义下，我们可以说该级数等于无穷大，因为我们只关心它是否有限，而不关心它到底是哪个无穷大。也正因为如此，比较这样两个无穷大级数的大小一般没有意义。当然，说该级数“发散到无穷大”更好。

教：为什么数学不能容忍歧义？

李：数学追求普遍适用而又明确的真理，所以，它不能容忍可能导致不同结果的合理理解或解释，也就是歧义。这跟政治恰恰相反。数学的这种无歧纯一性要求，与科学要求分离各种因素的影响，异曲同工。它们有利有弊。不利的是，它与现实多少有些脱节，因为现实错综复杂，并没有这种纯一性。这也许部分说明了为什么有些优秀数学家对现实生活无所适从。积分不“存在”实际上是它的取值不唯一。其实，对于这样的积分，我们可以采用研究策略中的“条件法”，增加限制条件，使其取值唯一。数学家们就是这么干的。各种随机积分就是这么得到的，这些积分在一般意义下是发散的。我们要钻研基本概念，弄清其然和所以然。

学：您是怎么达到这一点的？

李：这要明确目标，下功夫，我还在继续不断努力中。要增加深度需要花很大的力气。关于这一点，北宋政治家、文学家王安石在他的名文《游褒禅山记》中说得既形象又明确：“入之愈深，其进愈难，而其见愈奇。……盖其又深，则其至（到者）又加少矣。……夷以近（平坦而路近），则游者众；险以远（艰险而路远），则至者少。而世之奇伟、瑰怪、非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也。有志矣，不随以止也（不随他人而停止不前），然力不足者，亦不能至也。有志与力，而又不随以怠（不随他人而松懈怠惰），至于幽暗昏惑而无物以相（助）之，亦不能至也。”他强调要有志向、有能力、有工具和方法，尽力而为。

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