Zmn-1091 薛问天: 【无穷集合】是数学上有严格定义的概念，不能仅凭字面含义随意理解，评新华《1090》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对新 华先生的《Zmn-1090》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

【无穷集合】是数学上有严格定义的概念，

不能仅凭字面含义随意理解，评新华《1090》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

在数学上对【无穷】这个抽象的概念并无严格的定义，但对很多具体的无穷对象，却有严格的数学定义。如，

【无穷集合】定义为是非有穷集合的集合。

【无穷序列】定义为以自然数集N为定义域，以实数(或其它数域)为值域的函数。

【无穷大极限】an→∞(n→∞)定义为序列an满足条件: 对任何Δ，存在E，当n>E时，| αn丨﹥Δ。

f(x)→∞(x→∞)定义为函数f(x)满足条件: 对任何Δ，存在E，当x>E时， | f(x)丨﹥Δ。

f(x)→∞(x→a)定义为函数f(x)满足条件: 对任何Δ，存在ε，当丨x-a丨<ε时 ，         | f(x)丨﹥Δ。

【无穷位小数】定义为小数 a.a1a2a3......。有无穷位。

【无穷级数】定义为 A=a1+a2+a3+......。无穷序列各项的总和，值等于部分和序列的极限。

【无穷大】定义为极限是无穷大极限的变量。

【无穷小】定义为以0为极限的变量。

【超穷序数】定义为衡量无穷良序集序型的数系。

【超穷基数】定义为超穷序数中的开始序数。

......。

这些都是有严格定义的数学慨念。学习数学最大的忌讳就是，在把握数学概念的含义时，不尊重它们的定义，而是从这些概念的名词，如【无穷】两个字，的字面含义上做随意的理解。

新华先生的文中对极限的理解是正确的。【一般数列极限都不在数列的项中。明确表明极限不可达。】极限的引入纠正了早期微积分受【古典实无穷观】的影响，认为无穷序列在很远的地方可达到n=∞的项a∞。从而把无穷小看作是常数，说不清无穷小等于0还是不等于0。第二代微积分引入了极限，彻底解决了这个问题。

但是新华先生对康托尔主张的【现代实无穷观】的评论，则是错误的不正确的。他说【康托尔有幻想、幻听、幻觉的毛病，异想天开】，用这些语句来评价康托尔在集合论中主张的【现代实无穷观】则是极不正确的。关键是新华先生没有分清【古典实无穷观】和【现代实无穷观】的区别。要知道康托尔并不是像新华先生所说的那样【连老师创建的极限理论都不会，明明自然数数列的项趋向无穷大，极限不存在，他却把无穷大“想象”成是无穷自然数数列的极限，】要知道这个观点完全是新华先生对康托尔的误陷。康托尔并没有这样的观点。康托尔之所以在序数中用符号ω而不用∞，就是考虑到无穷极限同超穷序数是不同的概念。而新华先生说什么【怕违反极限原理，为了掩人耳目，就采用偷梁换柱的卑鄙手段，】完全是他自己的主观想像和有意的扭曲。康托尔根本没有把超穷序数“𝛚”作为无穷序列的极限。要知道康托尔主张的【现代实无穷观】同【古典实无穷观】是完全不同的观点。【古典实无穷观】认为序列的极限是无穷序列可达到的【实无穷】，而【现代实无穷观】则是认为无穷集合的生成过程可以完成，最后生成的无穷集合是无穷过程达到的【实无穷】。

新华先生完全弄错了，以为康托尔主张的就是古典实无穷观，以为康托尔研究的超穷序数ω是用来替换∞，作为无穷序列可达的极限的数，从而得出结论说【那真正“可恶”的不是“无穷大∞”，而是康托尔的“𝛚”，因为“𝛚”根本就不存在，因此“实无穷”就没有合法的基础，建立在虚无的基础上的 “实无穷”既不合法，也不存在，】显然这样的结论是完全错误的。

关于【现代实无穷观】可以参阅我的早期文章。

《Zmn-0606 薛问天： 区分两种实无穷观   2021-7-23 15:19》

当时我们还做过多次的讨论。不过最后新华和林益先生还是承认【明确地说“小球问题确实很简单，小球从 0 点运动到达 1 点，中间经历了 0.9， 0.99， 0.999， ⋯” ， 也就是说， 我已公开承认了， 小球从 0 点运动到 1 点，我可以肯定地说，它中间确实经过 0.9， 0.99， 0.999， ⋯这些点， 这些无穷个点全部都经历了，自然是经历的过程全部完成了。】（《Zmn-0667》）

下面我们对新华先生提出的所谓【数学界搞出许多不伦不类的东西】，的 十点意見，做如下评论。，

一，集合论当然有抽象性。任何理论都有抽象性。数学就是高度的抽象性和应用的广泛性。不能认为抽象的理论就没有意义，没有价值。

二，要知道任何数学理论和公式都有它的应用范围。理论假定的条件满足，则可应用，不满足则不适用。猫会吃鱼，就不满足集合并集的条件，就不要用集合论的这个外延不变的集合并集的公式。理论的价值表现在它适合的客观事物上。非欧几何的价值表现在非欧空间上，对客观上的欧氏空间没有价值。

三，新华先生对无穷公理认识有误。无穷公理并不是这么一句话【无穷集合是存在的】，实质上说的是【存在归纳集合】，由于可证归纳集合是无穷集合，所以由此公理可推出【无穷集合是存在的】，所以才把此公理称为无穷公理。

关于无穷集合，有严格定义。说什么【这表明真正的无穷就是“恶无穷”，狠狠打了坚持实无穷的人一个响亮的耳光！ 】这句话毫无道理。

四，几千年前就有自然数了，但关于自然数及其集合理论和严格的数学定义是百年前的事，1889年皮亚诺公理提出，也就一百多年。这不是【沽名钓誉，连数学几千年历史都不顾】，这是真正的数学史实。

五，实数理论的发展也同样。数学定义是研究理论的一种方法。定义不是说只有一种，可以有很多个定义来研究它们的等价性。实数就有各种等价定义，包括区问套，戴德金分割，无穷小数，柯西序列等。当然也可以用极限来定义实数研究实数。

对科学的发展要持尊重的态度。不要乱说是什么【神经有毛病，......胡说八道。】

六，对戴德金分割的正确性及其在实数理论上创造作用不可低估。

新华先生没有看懂戴德金分割，竟然问【如果先前没有实数，如何知道分割点是什么玩意？】【有什么理论依据判断分割点表示的那个玩意的属性？】

分割点就是有理数集合的分割点，分割点当然有它的属性，例如小于上集中的所有的有理数，大于下集中的所有的有理数，就是这个分割点的最基本的属性。可以根据它是两个集的分割点来作为理论依据判断它的属性。既然用这个分割点来定义实数，那么这个分割点的所有属性就是这个实数的所有属性。

要注意的是由于上集没有最小点，下集没有最大点，所以这个分割点并不是两个点之间的分割点，分割点是两个集合间的分割点。

实数的稠密性决定了任何两个实数间都有无数个数。不存在相互之间没有其它实数的两个相邻的实数。因而在两个有理数之间，或在有理数和无理数之问不会相邻，也不会有什么界限。

不必肉麻地吹捧，但也不能无知地任意低估戴德金分割的作用。

七，可以认为线段是由点构成的，园周是由同距园心等距的点构成的。当小球沿线段或园周运动时，经过了其中的无线个点。这完全正确并没有错。

线段和园周上都有无限个点，你当然不能一个点一个点去画。不要说这是连续的不可数无穷个点，就是离散的可数无穷个点，你也一个一个画不完。因为如果画一个点最短需要一个确定的时间，那么画无限个点，总的算起来就需要无限的时间，人的寿命有限，当然不可能画完。为什么要一个点一个点去画呢，你连着一芼画下去，在有限时间内就可以画过去无限个点。

当然我们所说的线和点都是宏观上，从理想上抽象地从概念上讲的。如果真的从微观世界上讲，物质由分子原子电子光子量子构成，那就是另外的理论了。任何理论都有它适用的范围。可以这么说，我们这套理论对宏观的客观物理运动规律是适用的 。最近听到有人在讲一些量子力学。微观力学变化很大，肯定要有新的认识。

八，确实如此，在集合论中，所有的集合，无论是有限集合还是无限集合，都是一个完整的，确定的，一个己经完好生成的确定的数学对象。每个集合都有确定不变的元素，确定不变的内涵和外延。集合的生成过程可以看作是动态的。但生成好以后的集合，个个都是相对隐定的静态的对象。这就是集合论的現状。

当然数学理论只是一种抽象的科学理论。是坐在房子里用脑子思考的理论，只用逻辑，甚至连实验都不要做，顶多为了直观做点模型。它不是工程。不像建筑工程那样，可以盖上房屋让人居住。

新华先生想用集合论的【符号花括号{}】，构造一个谁也不能把你从中踢出去的圓满乐院，完全是一种不切实际的痴心妄想。

九，无限循环小数0.999......明明是一个确定的数，怎么能说它是【动态】的呢？末尾那个“…”就代表那确定的无限个位，其中并没有取极限过程。新华先生说【0.999…极限为 1】，说错了，是那无穷多个有穷小数的序列0.9,0.99,0.999,...的极限是1，这个1就是无穷小数，就等于0.999...。新华先生的概念是混乱不清的。是【0.999…=1】，不是【0.999…极限为 1】。

连小学生都知道的是: 0.9, 0.99, 0.999 ,...<1，不是【0.999…<1】。而是0.999…= 1。这一切当然都可用图像来进行验证。

新华先生，你说你的这个错误，【是不是真的中了什么毒】，还是【精神出了问题】，【连活生生的存在事实都不顾啊！】

十，新华先生在(十，)中说的逻辑有些乱，不知他在说什么？无理数满足稠密性当然就不【存在相邻两个无理数】，即不【存在连续之间没有其它实数的两个无理数】，这就是说无理数满足稠密性不是【离散集】，因为【稠密性】同【离散性】是互斥的。可是新华先生却说【因此，无理数也只能构成离散集，】不知新华先生为什么要在这里说这个错话。

关于测度，由于单点的测度是0，所有有理数只有可数无穷多个，所以根据测度的有限和可数的可加性，所有有理数集合的总测度为0。另外由于[0,1]区间的测度是1，所以就只能规定不可数个单点测度为0的无理数加起来总测度为1。当然在这样最普通最基本的测度要求下，可以证明存在不可测的实数子集。这是客观规律，是人们设计出来的最好的测度方法。不存在使所有子集都可测的测度，这是不可改变的客观规律。要尊重科学事实，不要【睁着眼睛说瞎话】，你能提出使所有集合都可测的测度吗？

最后，我要再说几句。新华先生说【数学是科学，体现的是客观世界事物的发展变化规律，】这很正确。因而数学是严肃的科学，並不【太简单】。真正的【探讨数学的科学性和真理性】，就要靠严肃的认真的态度，对任何数学问题都应把它说得明明白白，清清楚楚，不能含含混混，特别是批评意見，一定要说具体，把你批评的具体内容是什么说清楚。

新华先生在文后批评康托的集合论，说【得到的都是反例】。但并不具体说，希望新华先生把你要批评的意見，具体说清楚，说出来大家讨论。例如。

【在无穷中都能找出正方形的对角线，四条确定的边在哪儿，有无穷正方形吗？】要知道康托尔的集合论中根本就没有定义【无穷正方形】，所有这些都是新华先生的错误理解。

【连续统假设就是错误的】。上世纪已明确证明连续统假设独立于集合论的公理。你根据什么说它是错误的。把你的证明拿出来，大家评一评看错在哪里。

【根据数形结合，区间也不是由实数构成，】把你的意見说出来，你认为几何区间中点的坐标不用实数，你认为用什么合适。

【而是变量连续变化构成，怎么能用点去作为计数标准呢？】所谓变量，就是要在数域中取值。请说清楚你认为康托尔的集合论的什么【计数标准】你认为不妥，是【反例】。

总之，新华先生如果真是要【探讨数学的科学性和真理性】，就应把意見谈具体，说出来，不要在这里空洞地议论。

不要怕别人批评【这也不对、那个也错误】，就不具体说了。正常的批评，只要不是【戏说】，肯定都是摆事实讲道理的，你认为没错完全可以说出你的理由。要知道【摆事实、讲道理，这是最好的探讨和学习方法。】如有错误，承认错误，纠正错误才是最大的进步。任何真理都是在不断地克服各种错误中诞生的。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】