Zmn-1120 薛问天: 潜无穷观是错的，不要身在无穷之中看无穷，兼评一阳生《1119》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1119》一文的兼评。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

潜无穷观是错的，不要身在无穷之中看无穷

兼评一阳生《1119》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

A，潜无穷观是错的。不要身在无穷之中看无穷，要站在无穷之外，之上，站在更高处看无穷。

为什么有些人持潛无穷观，老认不清无穷的真面目，我认为其中的一个重要的原因，就是他是站在无穷之中看无穷的。

大家都记得苏东坡的诗句吧，【不識廬山真面目，只緣身在此山中。】

无穷的自然数序列。每个自然数n后面还有n+1这个自然数，无穷无禁。如果你是站在自然数序列中间来看这个序列，看完一个项后，还有下一个项，等你走到下一个项后，还有下下一个项，所以永远不能完成。从而你得出结论【不断延伸，有始无终，不能完成，不能结束】。

錯就错在你是站在无穷序列的之中来看这个无穷序列。而要知道，正是因为你站在【无穷序列之中】，所以看不清【无穷序列的真面目。】

还记得唐诗人王之涣的诗句吧，【欲穷千里目，更上一层楼。】以及知道源于《庄子》的“井底之蛙”的寓言故事。都说我们要站得高，看得远， 高瞻远瞩。

因而要真正认清无穷，必须要走出无穷，站在无穷之外，之上，在更高的一个层次处看无穷。这样才能认清。

例如小球运动的例子。小球经过0.9,0.99,0.999,...这些坐标小于1的无穷个点。如果你跟着小球，当你在经过这无穷个点的过程进行中，还未到达1这个点以前来观察，当然会认为这个无穷过程【不断延伸，有始无终，不能完成，不能结束】。

但是当你跟着小球，到达1这点以后，当你完成了经过无穷个点这个无穷过程之后，你还认为无穷过程在【不断延伸】吗？虽然你看到它並没有最后一个终点，但你绝不会认为经过这无穷个点的过程【不能完成，不能结束】吧。

也就是说你应该承认在客观上是存在着这样的经过无穷个点的无穷过程，它是可以完成的。从而说明了，认为所有的无穷过程都是【不能完成，不能结束】的观点是错误的。

实际上，你可以站得更高，站在二维空间或三维空间的更高处来观察小球的运动。可以看到小球在区间(0,1)中经过了0.9,0.99,0.999,...无穷个点，还可以看到小球在区间(1,2)中经过了1.9,1.99,1.999,...无穷个点，再可以看到小球在区间(2,3)中经过了2.9,2.99,2.999,...无穷个点等等。这时你绝对不会认为每个经过无穷个点的无穷过程不能完成。因为有很多无穷过程，前一个不完成，后一个怎么开始？

也就是说站得高，不在其中，就可看清真面目。

当然我们也承认，在客观上确实也存在着目前尚未完成的无穷过程。但是这并不排斥我们的思考和推理。我们当然也可以假定它可以完成和结束，作一些推理和思考，没有任何理由能禁止我们的思维和讨论。

另外，【有始无终】也不是所有无穷集合的特性，尽管全体自然数集合

N={0,1,2,...}的序集，可以是【有始无终】，但是全体整数的集合

G={...,-2,-1,0,1,2,...}也是无穷集合，而是无始无终。而超穷序数

ω+1={0,1,2,...,ω}也是无穷集合，而是有始有终。

而对那些不是序集的无穷集合，则更是谈不上始和终的问题。

在集合论中对无穷集合有严格的数学定义，那就是称不是有穷集合的集合是无穷集合。这才是无穷集合的正确的数学定义。

潜无穷观同实无穷观矛盾重重，一阳生先生认为两种无穷观可以兼容【不矛盾】，我认为不对。潜无穷观是错误的观念，是由于站得不高，在无穷之中看无穷，坐井观天，没有看清无穷的真面目。需要纠正。

一阳生先生主张【概念的理解要同一，这是讨论的基础。】这个主张我同意，那就必须纠正错误的理解。一阳生文章中的观点，我基本上都同意。除了我认为潜无穷观是错的，需要纠正外。还有如下不同意見，

B，关于后继运算的理解。

一阳生先生说【不管是皮亚诺公理中还是自然数的集合论定义中，都强调【后继数】概念，{n}Un是n的后继数。没有【后继运算】概念出现。】

要知道【后继运算】是自然数集合中的非常重要的运算。自然数集合定义中的三大要素就是自然数集合N，零元素0和后继运算f。

自然数的皮亚诺公理就是：公理1，0∈N；公理2，∀n. n∈N→f(n)∈N；公理3，∀n，f(n)∉N；公理4，∀n1,n2，f(n1)=f(n2)→n1=n2；公理5。∀P. (P(0)&(∀k∈N)[P(k)→P(k+1)]) →(∀n∈N)P(n)。

其中除了逻辑和集合用语外，就只有N，0和后继运算。

在公理集合论中用空集{}=0定义0，用{n}Un=f(n)定义后继运算，自然数定义为(1){}∈N；(2)若n∈N，则{n}Un∈N；(3)N中所有元素由(1)(2)构成。同样其中除了逻辑和集合用语外，就只有N，0和后继运算。

可見后继运算的重要。其实后继数就是后继运算得到的数。不知一阳生为什么要说【没有【后继运算】概念出现】。

一阳生先生说的这句话【每个自然数都有后继数，可借此证明全体自然数都存在。由0开始的后继运算则无法穷尽全体自然数，永远达不到链条的尽头。】是不对的，有如下问题。

①【每个自然数都有后继数】，此仅是自然数的定义(2)，仅跟据(1)和(2)成立，由0即空集的存在是推不出【全体自然数都存在】的。只有用(3)的成立才能推出全体自然数的存在。如(3)不满足，存在这样的自然数，它不是0，也不是由后继运算得到的数。你不可能由此推出它的存在。

②，一阳生说【由0开始的后继运算则无法穷尽全体自然数】，是错误的。正是由同(3)等价的公理5，断定任何自然数是由0经有穷次的后继运算得到的，这才由0的存在证明了所有即全体自然数的存在。但这只是证明了自然数集合的元素的存在，整个集合的存在还必须要经无穷公理等来证明。

③【永远达不到链条的尽头】这是因为自然数中没有最大自然数，由此否定不了【任何自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】。这是自然数公理5的等价命题，是肯定成立的，你否定不了。你必须承认整个链条(即集合)由全体自然数构成。这个链条是没有尽头的无穷链条。

C，任何无穷过程，都可分为两个子过程。

我认为第一子过程是有穷过程，第二子过程仍是无穷过程。关于这点我同一阳生有相同的看法，也有不同的意见，详见《Zmn-1113》.

附录，

(1)【不識廬山真面目，只緣身在此山中。】

蘇東坡在一千多年前偶然行遊至江西盧山西林壁，有感於山勢之奇美而寫下了〈題西林壁〉一詩：「橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山 中。」此詩的後兩句傳誦久遠，因為它以淺白的語句講出了一個含義深刻的人生哲理。

(2)【欲穷千里目，更上一层楼。】

站得高，看得远。比喻眼光远大， 高瞻远瞩。

王之涣曾在冀州任过衡水县主簿，不久就遭人诬陷被撤职了。有一天，他来到蒲州，听说府城西南有一座鹳楼很有名，便趁着落日的余辉前去游览。这是一座三层高楼。王之涣登至顶层，不由得诗兴勃起，吟出了一首五绝，题为《登鹳雀楼》：“白日依山尽，黄河入海流。欲穷千里目，更上一层楼。”

(3)【井底之蛙】

井底之蛙，源于《庄子·外篇·秋水》中的一则寓言故事，成语“井底之蛙”和“坐井观天”均出自这则寓言，被用来比喻和讽刺眼光狭隘且自以为是的人。

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