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线性代数外篇1:Siegel 引理

已有 4867 次阅读 2012-12-27 17:40 |个人分类:线性代数外篇|系统分类:观点评述| 线性代数, 丢番图逼近, 组合学

设整数 $N>M$, 则下面的整系数线性方程组
$$a_{11}T_1 + cdots + a_{1N}T_N = 0$$
                                                                          ……………………………………
 $$a_{M1}T_1 + cdots + a_{MN}T_N = 0$$
必存在一组非零整数解 $(t_1,ldots, t_N)$ 满足如下条件
$$max_{1leq ileq N}|t_i|<2(4Nmax_{substack{1leq ileq N\1leq jleq M}}|a_{ij}|)^{frac{M}{N-M}}.$$

从形式上来看,这就是一个简单的线性方程组。只有从数论角度来看,系数和解都要求是整的才是有意义的。对这个结果,证明只用到一些简单的计数以及鸽笼原理。但结论在丢番图逼近中却非常有用。当然,许多结果都需要对这个结论进行更精细化的估计才能得到。更多请参见http://en.wikipedia.org/wiki/Siegel_lemma

把这个结论放在线性代数书中应该不算过分,这也算是一个相当出色的应用了。


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