求函数\[f(x,y,z)=(Ax+By+Cz+D)^2\]在约束条件

\[S:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\]

下的极小值及极小值点,其中$A,B,C,D,a,b,c$均为非零常数.

  令
\[\Delta=\sqrt{a^2A^2+b^2B^2+c^2C^2},\]
则根据Cauchy不等式,   得到
\[|Ax+By+Cz|=\left|aA\frac{x}{a}+bB\frac{y}{b}+cC\frac{z}{c}\right|\leqslant
\Delta,\forall (x,y,z)\in S.\] 从而
\[D-\Delta\leqslant Ax+By+Cz+D\leqslant D+\Delta，\forall (x,y,z)\in S.\]
因此$f$的约束极小值等于
\[\min_{(x,y,z)\in S} f(x,y,z)=\begin{cases}0, &|D|\leqslant \Delta\\
\min\{ (D-\Delta)^2,(D+\Delta)^2\}, & |D|>\Delta\end{cases}
=\begin{cases}0, &|D|\leqslant \Delta\\
(D-\Delta)^2, &D>\Delta\\
(D+\Delta)^2,&D<-\Delta\end{cases}= \left(\max\{0,
|D|-\Delta\}\right)^2.\] 若$|D|< \Delta$, 则椭圆
\[C: \begin{cases}Ax+By+Cz+D=0,\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\end{cases}\]
上任何点$(x,y,z)$都是极小值点.

若$D\geqslant\Delta$, 则极小值点的三个坐标是
\[x=-\frac{a^2 A}{\Delta}, y=-\frac{b^2B}{\Delta},z=-\frac{c^2C}{\Delta}.\]
若$D\leqslant -\Delta$, 则极小值点的三个坐标是
\[x=\frac{a^2 A}{\Delta}, y=\frac{b^2B}{\Delta},z=\frac{c^2C}{\Delta}.\]