留言板
- [26]王一君
- 林老师，您好！本人是华中师范大学情报学在读硕士，目前正在进行虚拟学术社区系统有序度方面的研究，故发此问卷，恳请您拨冗填写以下问卷。本问卷实行匿名制，所有数据只用于统计分析，请放心填写。
链接如下：https://www.wjx.cn/hj/bi2jnusxz0e6lq1vdku84g.aspx
如果您对相关研究感兴趣，可以给我留言或者邮箱：1083634082@qq.com
再次感谢您的填写和支持！
- [25]俞立
- 林老师，您好！祝您新春愉快，马年吉祥 ：）
- [24]fyhax
- 林老师，您好，我是一名初中教师，我和我儿子都是哥德巴赫猜想爱好者，我们认为我们已经证明了该猜想，但邮到杂志社，回复说，我们的证明只有一部分正确，我想请您帮助评判一下，谢谢您。我的邮箱：fyhax@163.com 巧证哥德巴赫猜想原文
德国数学家哥德巴赫在1742年发现：任何一个不小于6的偶数都可以表示成两个奇质数之和，这就是哥德巴赫猜想。笔者经过研究发现，巧用双数筛法即可证明哥德巴赫猜想，过程如下：
1、证明思想
设N是任意一个不小于6的偶数：6、8、10‥‥‥N，Xn是任意一个不大于N/2的正整数：1、2、3‥‥‥N/2，那么N就可以表示为N/2对正整数的和：1+（N-1）、2+（N-2）、3+（N-3）‥‥‥N/2+N/2，用公式表示为：N=Xn+（N-Xn）；这N/2对数中的每一对数都包含两个加数，即前面的加数：1、2、3‥‥‥N/2和后面的加数：（N-1）、（N-2）、（N-3）
‥‥‥N/2，如果每一对数的前后两个加数中有一个加数是合数或是1，其所在的数对都要被去掉，那么剩下的就是只含质数的数对，我们设这样的质数对的个数为n，那么只要证明当N≥No时有n≥1，哥德巴赫猜想①就成立。
2、公式推导
我们已知偶数N可以表示为N/2对正整数的和：1+（N-1）、2+（N-2）、3+（N-3）‥‥‥Xn+（N-Xn）‥‥‥N/2+N/2，下面推导去掉含合数和1的数对后剩下的奇质数对的个数n的表达式：
首先，将N/2对数中含2的倍数的数对去掉：
通过观察我们发现：每对数前面的加数Xn若为偶数，由于N也为偶数，后面对应的加数（N-Xn）也必为偶数，也就是说Xn和（N-Xn）总是同时是偶数，即总是同时是2的倍数，所以对应的Xn和（N-Xn）总是被同时去掉，并且我们发现当N/2为偶数时，偶数对就占N/2对数的一半，即(N/2х1/2)对，而当N/2为奇数时，偶数对就占N/2对数的一半少1对，即(N/2х1/2-1)对，笔者采用的方法是偶数对占N/2对数一半按一半去掉，不到一半也按一半去掉，这样我们就去掉占一半的偶数对(N/2х1/2)个，则剩下的奇数对的个数为
N/2-N/2х1/2=N/2(1-1/2) ①
【举例说明：如N=12，它可表示为N/2=6对正整数的和12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6，其中偶数对有3对2+10、4+8、6+6，占6对数的1/2，而若 N=14，它可表示为N/2=7对正整数的和，即14=1+13=2+12=3+11=4+10=5+9=6+8=7+7，其中偶数对仍为3对2+12、4+10、6+8，所以应去掉3对数，剩下4对数，但按笔者公式①计算则剩下3.5对，即少剩下半对。】
然后，再将剩下的奇数对中含3的倍数的数对去掉：
由于N/2对数中的每一对数都有两个加数，有时可能是前面的加数Xn为3的倍数，有时可能是后面的加数（N－Xn）为3的倍数，又有时可能是Xn和（N－Xn）同时为3的倍数，笔者采用的方法是前面的加数Xn中出现3的倍数其所在的数对要去掉，后面的加数（N－Xn）中出现3的倍数其所在的数对也要去掉，又由于前面的加数1、2、3‥‥‥N/2和后面的加数（N－1）、（N－2）、（N－3）‥‥‥N/2都是连续的正整数，所以每相邻3个数中就有一个3的倍数，也就是说前面加数Xn中出现3的倍数的个数应是(N/2х1/3)个，同理后面加数（N—Xn）中出现3的倍数的个数也应是(N/2х1/3)个，这样总共去掉的含3的倍数的数对的个数应为N/2х1/3+N/2х1/3=N/2х2/3个，即前面的Xn和后面的（N—Xn）如果同时为3的倍数也要去掉两对数，那么去掉含3的倍数的数对后剩下的数对的个数为
N/2-N/2х2/3=N/2(1-2/3) ②
【举例说明：由②知N/2(1-2/3)= N/2-N/3，N/2表示N/2对加数，N/3表示从N/2对加数中去掉的含3的倍数的数对，如N=20，N/2=10，即20可表示为10对正整数的和1+19、2+18、3+17、4+16、5+15、6+14、7+13、8+12、9+11、10+10；N/3=20/3≈6.7，表示20中含3的倍数为6个3、6、9、12、15、18，即应从10对数中去掉含3的倍数的数对6对3+17、6+14、9+11、8+12、5+15、2+18，但按笔者的公式要去掉6.7对，多去掉0.7对，虽然0.7不到一对数，但也要被去掉，同理，以下逐级推导的公式每当N /Pi不为整数时都是按计算结果多去掉一点，累积起来还是多去掉，剩下的数对就会更少（Pi为不大于√N的最大质数）】。
这样我们就可求得这个数与总数对个数N/2的百分比是
[N/2(1-2/3)]/（N/2）=(1-2/3) ③
又由于去掉含3的倍数的数对是在去掉含2的倍数的数对的基础上进行的，所以应将这个百分比③与去掉含2的倍数的数对后剩下的奇数对的个数①相乘，即取交集,于是我们得到去掉含2、3的倍数的数对后剩下的数对的个数为
N/2(1-1/2)(1-2/3) ④
同理，我们再将剩下的奇数对中含5的倍数的数对去掉：
N/2对数中的每一对数含5的倍数和含3的倍数道理相同，即有时可能是前面的加数Xn为5的倍数，有时可能是后面的加数（N－Xn）为5的倍数，又有时可能是Xn和（N－Xn）同时为5的倍数，所以，笔者采用的方法同去掉含3的倍数的数对时相同，即前面的加数Xn若为5的倍数其所在的数对要被去掉，后面的加数（N－Xn）若为5的倍数其所在的数对也要被去掉。而在连续的正整数中出现5的倍数的个数也同出现3的倍数的个数道理相同，即每相邻5个数中就有一个5的倍数，所以前面的加数Xn中出现5的倍数的个数应是(N/2х1/5)个，后面的加数（N—Xn）中出现5的倍数的个数也应是(N/2х1/5)个，这样总共含5的倍数的数对的个数应为N/2х1/5+N/2х1/5=N/2х2/5个，再仿照去掉含3的倍数的数对的方法去掉含5的倍数的数对，那么剩下的数对的个数为
N/2-N/2х2/5=N/2(1-2/5) ⑤
【举例说明：由⑤知N/2(1-2/5)= N/2-N/5，N/2表示N/2对加数，N/5表示从N/2对加数中去掉的含5的倍数的数对，以下道理同3】。
这样我们可求得这个数与总数对个数N/2的百分比是
[N/2(1-2/5)]/（N/2）=(1-2/5) ⑥
而去掉含5的倍数的数对是在去掉含2、3的倍数的数对的基础上进行的，所以应将这个百分比⑥与去掉含2、3的倍数的数对后剩下的数对的个数④相乘，即仍然取交集,于是我们就得到去掉含2、3、5的倍数的数对后剩下的数对的个数为
N/2(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5) ⑦
以此类推，我们再将剩下的奇数对中含7、11、13、17‥‥‥Pi的倍数的数对逐一去掉（Pi为不大于√N的最大质数）：
由于N/2对数中的每一对数含7、11、13、17‥‥‥Pi的倍数的道理和含3、5的倍数的道理相同，所以去掉含7、11、13、17‥‥‥Pi的倍数的方法也同去掉含3、5的倍数的方法一样，于是我们得到剩下的数对的个数的表达式：
N/2(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)(1-2/11)(1-2/13)(1-2/17)‥‥‥(1-2/Pi) ⑧
又由于1既非质数又非合数，所以含1的数对也要被去掉，所以在公式⑧的基础上还要去掉一对数，于是我们得到最后剩下的质数对的个数n的表达式：
n= Int[ N/2(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)(1-2/11)(1-2/13)(1-2/17)‥‥‥(1-2/Pi)-1] ⑨
【注： y= Int（x）为取整函数，即表示y为不大于x的最大整数，如Int（8.9）=8，Int（6.3）=6】
【说明：公式⑨中为什么不含大于Pi (Pi为不大于√N的最大质数)质数？举例当N=64时，√N=√64=8，所以Pi取不大于8的最大质数7，所以按笔者公式应将含2、3、5、7的倍数的数对去掉，但大于Pi小于64的质数还有很多11、13、17‥‥‥等等，为什么公式不再往下推导？其实不是没去掉含它们的倍数的数对，而是在去掉含2、3、5、7的倍数的数对时已经将含它们的倍数的一些数对去掉了，如质数11，在去掉2的11倍时，就把11的2倍去掉了，在去掉3的11倍时，就把11的3倍去掉了，在去掉5的11倍时，就把11的5倍去掉了，在去掉7的11倍时，就把11的7倍去掉了，而7的11倍为77，大于64，因此在去掉7的倍数时都不用去掉，就更别说11的7倍了，所以只去掉含不大于√64的质数的倍数的数对就可以了。其实利用笔者推导的公式将含有不大于√64的所有质数及其倍数的数对都去掉了，就剩下一些大于√64且不大于64的质数组成的数对，即便这样，n如果仍能大于1，猜想当然成立。】
3、证明过程
通过推导,我们得到去掉含合数和1的数对后最后剩下的质数对的个数n的表达式
n= Int[ N/2(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)(1-2/11)(1-2/13)(1-2/17)‥‥‥(1-2/Pi)-1] ⑨
Pi为不大于√N的最大质数，
由⑨得
n= Int[ N/2(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)(1-2/11)(1-2/13)(1-2/17)‥‥‥(1-2/Pi)-1]
= Int[ N/2x(1/2)x(1/3)x(3/5)x(5/7)x(9/11)x(11/13)x(15/17)‥‥‥(Pi-2)/Pi-1]
= Int[ N/4x(1/3)x(3/5)x(5/7)x(9/11)x(11/13)x(15/17)‥‥‥(Pi-2)/Pi-1]
= Int[ N/4x(1/3)x(3/5)x(5/7)x‥‥‥(9/11)x(11/13)x‥‥‥(15/17)‥‥‥(√N-2)/√N-1]
≥Int[ N/4x(1/3)x(3/5)x(5/7)x(7/9)x(9/11)x(11/13)x(13/15)x(15/17)‥‥‥(√N-2)/√N-1]
通过约分
n≥Int[ N/4x(1/√N)-1]
= Int[√N/4-1] ⑩
∵n≥1时，哥德巴赫猜想成立，
∴令√N/4-1≥1
∴√N/4≥1+1
∴√N/4≥2
∴√N≥8
∴N≥64
也就是说当N≥64时，由公式⑨可得n≥1，即每一个不小于64的偶数表示为两个奇质数之和的表示法至少有一种，而很容易验证6、8、10‥‥‥62也都可以表示为两个奇质数之和，所以，任何一个不小于6的偶数都可以表示为两个奇质数之和，从而证明哥德巴赫猜想成立且正确。
4、验证说明
笔者通过自己推导的公式⑨证明了哥德巴赫猜想①的正确，其实我们很容易验证该证明过程的正确。
举例说明：
如当N=64时，√N =√64= 8，所以Pi取不大于8的最大质数7，所以应将含2、3、5、7的倍数的数
对去掉，
由公式⑨得
n=int[64/2(1-1/2)(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)-1]
=int[2.28-1]
=1
即去掉含2、3、5、7的倍数和１的数对后，64被表示为两个奇质数之和的表示法至少有1种
具体说明： N=64，它可表示为N/2=32对正整数的和,即
64=1+63=2+62=3+61=4+60=5+59=6+58=7+57=8+56=9+55=10+54=11+53=12+52=13+51
=14+50=15+49=16+48=17+47=18+46=19+45=20+44=21+43=22+42=23+41=24+40=25+39
=26+38=27+37=28+36=29+35=30+34=31+33=32+32
根据笔者公式，要将32对数中含2、3、5、7的倍数的数对去掉，
首先我们将这32对数中含2的倍数的数对去掉，
共32 x1/2=16对： 2+62、4+60、6+58、8+56、10+54、12+52、14+50、16+48、18+46、20+44 22+42、24+40、26+38、28+36、30+34、32+32，
那么剩下的奇数对为32 x（1-1/2）=16对：1+63、3+61、5+59、7+57、9+55、11+53、13+51、15+49、17+47、19+45、21+43、23+41、25+39、27+37、29+35、31+33；
我们再将这16对数中含3的倍数的数对去掉，共计16 x2/3≈11对：1+63、3+61、7+57、9+55、13+51、15+49、19+45、21+43、25+39、27+37、31+33，
那么剩下的奇数对为16 x（1-2/3）≈5对： 5+59、11+53、17+47、23+41、29+35；
我们再将这5对数中含5的倍数的数对去掉，共计5 x2/5=2对：5+59、29+35，
那么剩下的奇数对为5x（1-2/5）=3对：11+53、17+47、23+41；
我们再将这3对数中含7的倍数的数对去掉，共计3 x2/7≈1对，即将11+53、17+47、23+41三对数中的任意一对去掉，但为什么这三对数中没有7的倍数，因为在去掉含2、3、5的倍数的数对时已经将含7的倍数的数对去掉，但按笔者的思想，7的倍数还应该再去掉1对；
那么剩下的奇数对个数为3x（1-2/7）≈2对：即11+53、17+47、23+41中的任意两对数，因为11、53、17、47、23、41皆为质数，所以说64至少可以表示为2对奇质数之和。
又由于1 既非质数又非合数，所以含1 的数对也要去掉，因此在2对数的基础上还要去掉1对数，那么64至少也可以表示为1对奇质数之和。
与公式计算结果正好相符。
参考资料
[1]单数筛法：是求不超过自然数N（N≥１）的所有质数的一种方法，据说是古希腊的埃拉托斯特尼（Eratosthenes，约公元前274-194年）发明的。具体做法是：先把N个自然数按次序排列起来，1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数留下来，而把2后面的所有能被2整除的数都划去，2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的数都划去，3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去，就会把不超过N的全部合数都筛掉，留下的就是不超过N的全部质数。
- [23]wanghongzhi
- 老师，您好，您今天上午的讲座很精彩，普及微积分的思想给我留下很深的印象，对此，我有一些看法，求圆的面积时，当通过外接多边形求解时，圆的面积是绝对真理，而外接多边形是相对真理，这时有
相对真理/绝对真理=1.000…，这就与您所给公式 相对真理/绝对真理=0.999…矛盾了。
同理，求曲线面积时，您给的公式只适用于三角形内含于曲线中，即达布小和，对于三角形外包于曲线时，即达布大和，公式为相对真理/绝对真理=1.000…，因此，也是不成立的。
对此，我认为可以有两种解决办法：
㈠微积分的过程是将相对真理不断逼近绝对真理的过程，即相对真理/绝对真理—〉0
㈡相对真理/绝对真理=0.999… 或绝对真理/相对真理=0.999…
另外，还有一点感受，就是求微积分时可以将达布大和与达布小和相加求平均值，这样不是可以更快地逼近真实值吗？
认识比较浅，希望你批评指正，谢谢。
数学与应用数学专业
- [22]李蕾
- 老师您好，我是南京理工大学经济管理学院管理科学与工程专业的一名博士生，最近想做一份用户打标签行为的调研（就是您在发表博文时会让您给博文添加标签），但是我缺少研究数据，恳请您在百忙中抽空帮我填写一份问卷，问卷大约需要您5分钟的时间，非常感谢您！！
问卷地址是：http://www.sojump.com/jq/2709468.aspx 将此链接复制进浏览器的地址栏，然后按回车键即可，非常感谢您！！！
- [21]隆云滔
- 林爷爷，您好！
您很久没有更新主页了啊！学生们都很期待！ - 我的回复(2012-8-9 16:47)：接受意见，马上更新！
- [20]math0618
- 万分荣幸收到您的邮件！我已经发送邮件，请您查收。期待得到您的指导！
- [19]math0618
- 万分荣幸可以见到您，我的邮箱：huanmath@hotmail.com，热烈期盼与您互通邮件！
- 我的回复(2012-5-13 15:58)：可否直接通邮件了，因为我也迫切跟你讨论！
- [18]math0618
- 尊敬的林老师：您好！我是今天下午讲座上向您提问的学生。很高兴很荣幸可以见到您！这是我生命中重要的一天！我刚刚读了您的文章，感觉自己的问题已经得到了解答。我体会到把幂函数解决就已经解决了最主要的问题，因为它们是最基本也是最重要的一类函数，一切的函数我们都希望通过幂函数来进行逼近。觉得您的观点非常好，数学本来就是简洁的，漂亮的。Lagrange曾经说，最好的数学家可以用最简短的语言向大街上的任何一个人解释自己的工作。我建议每个大学新生都应该先读读您的文章，容易理解，又可以从总体上把握微积分，对下一步学习来说是一个很好的铺垫。希望看到您更多的成果，愿您一切顺利，晚安！
- 我的回复(2012-5-11 16:58)：可否跟你直接通邮件，告知你的邮箱。我的邮箱是linq@lsec.cc.ac.cn
- [17]wgf8387
- 我是一名高职院校数学教师，按常规教法，学生微积分能听懂、或有所收获的不多，必须进行改革。请问：能否按您的“降到最低”思想，以“科普”的方式，以培养学生一点数学思维为教学目标进行教学？若如是：需要教材重组，您“漫话微积分”以及有关科普报告材料到哪里能找到？若您百忙中有暇指点，万分感激，本从邮箱WWXXYYLL@126.
- 我的回复(2012-5-5 18:04)：你提的问题正是我们共同的问题，这里有很大的空间和机遇，也是严重的挑战，让我们共同努力。能否互通邮件。
- [16]李祥海
- 林老师你好：
我是做材料科学的，有一个分析化学的问题，03年的类似研究有一段话：However, because of the lack of a method for following the evolution of O2 during the reaction, no quantitative study of this change of the course of the reaction with pH has been made. (from Mordechai L. Kremer )
想问一下，化学发展了一两百年了，难道就没有一种方法或仪器可以定量微量气体（1-5ml）（最原始的排水法过于粗旷，误差太大，对于小体系不适合），敬请简单提示或介绍，谢谢。 - 我的回复(2012-4-29 10:19)：感谢问题，你可以问张可天，邮件：zktch@126.com
- [15]dswang2
- 林院士您好，增加了你的点击（嘿嘿），我是数学专业的本科生，最近你到我们学校演讲，我特别喜欢你的将微积分“脱衣服”和“穿衣服”的思想，确实，脱的过程是很奇妙的，但我认为“穿”更是必须的，可能因为您是做的科普，但中学生用两个算术等式可以满足一时，但我想他们如果要学更高深的数学，E N的极限是必须要学的 ，而且我认为极限 微积分是很有趣的，另外，我想数学需要高深，数学是不大可能降到最低点的，至少在可预见的将来不会。
- 我的回复(2012-4-15 09:16)：穿衣服的内容见我的博客《微积分降到最低点》，其中第三章就是极限。
- [14]amadeusli
- 来踩个脚印，作为一个资深文科生，我喜欢深入浅出、普及型、应用型的科学。我相信，科学的思想和思维方式，对于文学也好，生活也好，都有莫大的指导意义。
- [13]白冰
- 林院士：您好，非常感谢您指点。 关于数学科普我有一点建议：
现在一说到科普，就是给普通大众看的，我觉得我们非数学专业的人 更需要 数学科普，一种高级的科普。我们渴望数学知识，可是没有时间和精力去看 那些符号怪异的 数学课本。如果由您这些 数学大家 把高深的数学知识 以高级科普的形式 传给我们这些工科专业的研究人员，善莫大焉。 比如 泛函分析，拓扑学，怎么才能 让我们很快学会，我觉得这是一个非常重要的工作。谢谢您。 - 我的回复(2012-1-8 12:01)：对科普，跟你同感。我也在努力这么做，例如泛函分析，在我的《微积分快餐》（科学出版社，2011）一书中，就有一章用平面几何讲泛函分析，如有兴趣，请一读。再告诉我你的意见，我们可以在网上讨论。
- [12]woozchuan
- 林院士,昨天下午听了您的报告的确也有点观看一场数学魔术的感觉,把微积分简单化,让我们学生学起来更轻松,实在是很好的想法。
不过今天我们再次踏回校园,仍然得面临教材里的各种复杂,您对我们大一刚开始接触数学的学生有一些平时学习上的建议么?虽然昨天我们同意您的想法,可是现实往往让我们比较无奈啊。 - 我的回复(2011-12-24 15:20)：你的反应很对，讲的跟教科书一时对不齐号来，我的建议是照样跟教科书学，到学期结束寒暑假时再回头一望，是否就是我讲的那些？这就华罗庚说的，读书先由薄到厚再由厚到薄。试试看，再给我回话讨论。谢谢你了。
- [11]xuminjing
- 林院士，您好，我是“明天小小科学家”的徐敏競，我觉得微积分的应用无所不在，物理、化学、生物、地质、气象、海洋、水文、天文、电子、电脑、电机、机械、化工、冶炼中运用不在话下，在经济、金融、财会、管理也有着极其广泛的应用。可以说，没有微积分，就没有现代科技；不懂微积分，就不知道最基本的数理逻辑。微积分还可以很好的解决人口普查，天气预报，地震预报的许多问题。一些用初等数学佷难解决的问题，用微积分可以佷好的解决。
- 我的回复(2011-12-9 17:47)：你说的很对，这么小就知道微积分的用处，祝贺你！当然，每一种应用都需要下一点功夫了解，更主要要学到方法，然后才能创造。我强调的是，微积分也是一部方法论，从那里学习如何创造的方法。
- [10]xuminjing
- 林院士，您好，我是“明天小小科学家”的徐敏競，我觉得微积分的应用无所不在，物理、化学、生物、地质、气象、海洋、水文、天文、电子、电脑、电机、机械、化工、冶炼中运用不在话下，在经济、金融、财会、管理也有着极其广泛的应用。可以说，没有微积分，就没有现代科技；不懂微积分，就不知道最基本的数理逻辑。微积分还可以很好的解决人口普查，天气预报，地震预报的许多问题。一些用初等数学佷难解决的问题，用微积分可以佷好的解决。
- [9]wangjun99
- 林院士您好:
我是参加2011年国培计划高中数学人大附中班的学员,今天早上您给我们做了"微积分快餐"的报告,让我对微积分的理解更上了一个层次.早上您和我们互动的环节当中我斗胆提出在您的多项式函数导数定义中做点改进,以y=x^2为例,说成"在y=x^2的某一区间（a,b)的子区间[x,x+h]上，2x+h叫做y=x^2在该区间上的区间导数。其中2x称为y=x^2在x处的导数"这样改也能达到您的应用效果，而且也与经典的微分概念相吻合，也不会造成两个概念上的冲突。就是用x^n来理解也很不错的。我的拙见让您见笑了。在以后的教学中我也将尝试着用您的方法让学生去认识去理解。谢谢您！ - 我的回复(2011-11-18 10:34)：感谢你的快速反应，课堂上你提出的概念很有意思，希望在你的课程中在发展，预祝我们的方法能够成功。但请看我刚更新的排在最上面的博文！
- [8]袁幼成
- 林院士您好：
我是上午您讲完微积分魔术后第一个给您提问的数学系研究生，我的问题您一定思考过，自Lebesgue 推广Rinmann积分以来，人们做了大量的推广，成熟的有三种：一，将常义函数积分推广至向量值函数积分，如Pettis积分，二，分数阶微积分，三，模糊积分。不成熟的我见过两种，一种是一中国学者出了一本书《六种微积分》，将通常的积分为和的极限理解为和性积分，与之并列提出积性积分概念，不过，我对此不敢苟同，另一种是十几年前，我在大学里看到的《广义黎曼积分》一书，不过，这本书的思想我现在忘了，在网上也找不到这本书，另外，前不久，我看到《现代数学基础》丛书出了一本推广Lebesgue积分的书，其基本思想我理解了，函数Lebesgue可积必绝对可积，等价于一个级数绝对收敛，而研究级数只研究绝对收敛是令人沮丧的，该书作者认为，f(x) L广义可积意味着f+与f_的积分不同时为+无穷或-无穷，作者举例，有时这种情况下f 可R可积。推广微积分是我的一个梦想。据说最常用的数学是十则运算，加减乘除，乘方，开方，指数，对数，微分，积分。经过研究生阶段学习，我认为当代数学最基本运算至少应有十二则，但对什么是第十一，第十二则运算难下结论，也许只有您们这些大家才能回答。谢谢！
袁幼成2011年11月14日
于山东大学
- [7]金凯
- 很不错的书，真的很好。
