4.7 不确定性和不完备性

　　‘波爱之争’的焦点是关于不确定性和不完备性的问题。

   乍一看，“不完备性定理” 和 “不确定性原理” 完全是风马牛不相及两回事。一个是关于形式逻辑方面的问题，一个是关于量子状态的问题，二者相差十万八千里，风马牛不相及，根本扯不上关系。

　　其实不然

 　前面说了，“不完备性定理” 的本质是线性空间维度不完备问题，莫非“不确定性原理”根源也于此有关么？

　　是的！

   真这么简单？那么为什么波、爱两大神为此争论数十年无结果，为什么全体物理学家乐此不疲议论了一整个世纪还在争论？ 因为，他们混淆了实体位置坐标和量子态本征值的概念，因为他们混淆了线性空间参照系和张量空间参照系的区别。

　　首先，不确定性关系△x△p=h/2 中的x和p并非粒子的实体位置{x}和动量{p}，而是粒子的位置算符和动量算符的本征值。也就是说，表面上爱因斯坦和波尔虽然都在谈位置变量x，但是他们谈的并不是同一回事。爱因斯坦指的是实体位置坐标{x}，而波尔说的是位置本征值x 。请注意，粒子实际坐标{x}和位置算符本征值x有本质区别。

　　爱因斯坦观念中的粒子实际坐标{x}是基于经典力学机械决定论度量的，讨论实体粒子点坐标，也就是说{x}是实体三维空间坐标系投影值，而经典力学的实体空间坐标最多为连续无穷维（阿列夫1维度）线性空间。

　　而波尔观念中的位置算符本征值x所处的量子态空间是阿列夫2维度的张量空间（这个后面详解），也就是说本征值x实际上是高阶张量空间的投影值，本征值x是阿列夫2维度空间的概念。

    由于阿列夫2维度张量空间的元素相对于阿列夫1维度线性空间表现为逻辑概率性，所以本征值x体现为概率波。

   特请注意：量子态本征值x和经典物理的实体坐标{x}完全不是一回事！

　　当爱因斯坦、德布罗意、薛定谔的头脑中还含糊不清局限于经典物理的粒子实体位置坐标{x}的旧观念时候，矩阵力学的量子态x已经突破了传统粒子坐标{x}的概念。哥本哈根的量子物理大师们对于粒子实体位置坐标{x}和位置算符本征值x 的区别的认识是非常清醒的，他们发现了这二者绝不可能是一回事。

　　哥本哈根的学者们发现，假如把德布罗意的粒子波函数看做三维立体图形的坐标{x}的实体波，那么这个实体波一定会膨胀扩散，而不成其为“粒子”（从这个误解而推断的结论是对波粒二象性的否定）。

　　下面是教科书里的详细说明：

   显而易见，量子力学的波函数只可能是某种基于本征值x的逻辑波，而决不可能是基于实体空间参照系的实体位置坐标{x}的实体波。

   对薛定谔波函数正确的解释是：这是“概率波”（因为这个解释波恩喜获1954年的诺贝尔物理学奖）。

   概率波是对于粒子实体位置坐标{x}和位置算符本征值x 的本质区别的贴切阐述。

　　下面是教科书里的详细说明：

   粒子实体坐标{x}和位置算符的本征值x的区别，还可以从冲击函数δ(x-p)的傅里叶变换演算中看出来。如果我们对{p}和p不加区别，就会出现如下谬误：

   而如果我们有效的区分了{p}和p，则有：

由exp(ipx)的正交性，得δ(x-p)等于0，没有矛盾。

【注：动量p可以表达为（－id/dx）,即p可看作x的函数。】

   回到‘波爱之争’话题，鉴于爱玻之争的关键是不完备性话题的争论，大师当然会关注空间维度问题，会关注量子理论的无穷维概念。因为不对易问题源自连续无穷维矩阵，毫无疑义爱波两人都清楚量子态空间是无穷维的。但是，他们很可能都混淆了“无穷”的概念，没有意识到无穷大的分级，没有意识到阿列夫1无穷大和阿列夫2无穷大的巨大区别。没有意识到关于“无穷维”，并不是一个单一概念，而是包括了“阿列夫0级无穷维”线性空间（算术公理系统）、“阿列夫1级无穷维”线性空间（连续无穷维谱分析）、“阿列夫2级无穷维”多重线性空间（量子态）等等。基于此，我们惊奇的发现， 表面上爱因斯坦和波尔相互指责针锋相对，实际上这就像盲人摸象，摸到耳朵的说象大蒲扇、摸到尾巴的说象绳子。很可能他们都没有厘清争论问题的实质区别，在于无穷大的阶。如果一个人所谈空间是阿列夫1维度的线性空间，另一个人所谈空间是阿列夫2维度的高阶张量空间，那么爱因斯坦和波尔根本就不是在针尖对麦芒在谈同一个概念问题。

   值得注意的是，不同维度对应于不同的概念也许并不那么醒目，但是在逻辑分析时维度概念却不容忽视。假如维度不一致，即使相同名字的概念也并不等价。上面关于实际坐标{x}和位置算符本征值x的推论非量子力学专业人士可能一头雾水，下面再举一个简单例子。

   比如，有一个这样的所谓的高级数学题：

   【求证：1元=1分

       解：

        1元=100分

           =10分×10分

           =1角 ×1角

           =0.1元×0.1元

           =0.01元

           =1分

    】

    上面的谬误就是一个典型的概念混淆，‘100分’和‘10分×10分’相等吗？

    相信大多数读者都知道，100分 和 10分×10分 不相等。但并不一定都知道所以然。

   究其根本，因为其中的‘分’和‘分×分’是完全不同层次的概念。‘分’是一阶逻辑概念，‘分×分’是二阶张量概念。一阶变元和二阶变元，在逻辑上有本质区别，根本不可能划等号。如果强行划等号，逻辑谬误在所难免。

　　虽然说道理都是相通的，但是相信康托尔至死也不会想到他的阿列夫2，有一天会身披金甲圣衣、驾着七彩祥云去娶十万八千里之外的量子妹妹。同样，相信量子力学的家长们，谁也不会想到有个疯人院里出来的阿列夫2小子，居然有天会到量子圣殿比武招亲，横扫千军、勇拔头筹。

　　一个世纪以来，阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2等等兄弟们一直非常低调，它们和疯子主人康托尔一道，静静地躺在坟墓里，深埋地底默默无闻。但是，一切有生命力的种子，无论它掩埋多深，都将会有破土开花结果的那一天。尽管无穷大的分级是人类历史上少有的的跨越时代的伟大发现，但是除了少数几个数学大师（如康托尔、希尔伯特、哥德尔等）理解其实质以外，长久以来其实是很少有人注意其惊世骇俗的意义的。所以，物理学家们没有融会贯通理解数学边缘的无穷大阿列夫0、无穷大阿列夫1、无穷大阿列夫2等等无穷大分级是可以理解的。

　　好了，本章最后还是让我们坐下来，再捋一捋“不确定性原理”和“不完备性定理”的内在脉络吧。

　　1、二者都是线性空间的表达引出的问题。“不完备性定理”问题的是形式逻辑公理体系（线性空间）问题，而“不确定性原理”是量子态空间（多重线性空间）问题，本质都是线性空间引发的问题。

　　海森堡的上司玻恩在阅读了海森堡交给他发表的论文后，发觉了位置与动量无限矩阵有一个很显著的关系──它们不互相对易（即相乘的矩阵不能交换次序）。这里，‘不对易’和‘不确定性’互为充分必要条件。请注意，对易关系是针对矩阵而言的，而矩阵是线性系统和张量系统的典型表征。

　　2、对易关系还有一个充分必要条件：“如果两个算符有一组共同本征函数函数，而且是完备系统，那么它们对易。”可见，不对易算符的本质正是线性系统（或张量系统）的不完备性问题

　　回过神来，细细品味，我们不难发现：‘不完备性’和‘不确定性’本质而言其实是一回事，都是线性（或多重线性）空间的维度的问题。“不完备性定理”的实质是维度的不完备，“不确定性原理”的实质也是维度的不完备。

　　“不确定性原理”的实质也是参照系维度的不完备，这个提法也许会雷倒一群人。都知道量子态空间是一个希尔伯特空间，而希尔伯特空间是柯西收敛的。它怎么会不完备呢？太犀利了吧

　　下一章，将对这个问题给出一个证明。这个证明简洁得让人窒息。