5.1第5章降水统计力学第1,2节—气象统计学私探（24）

张学文，2020 09 30  基于1985-2006的文稿

    本章用例子引入—个物理模型。它暂不涉及具体的气象或者分子运动。只要抓住这个思路的要领，这就为后面介绍它在气象上的各种应用就省去了很多笔墨。有兴趣对这些思路作进一步了解的读者可以参阅统计物理书籍，那里用另外的语言表达类似的分析路子。

    §l  幼儿浇花问题

“马克斯威尔所得到的有关分子速度分布的数学方程是自然科学中最难的方程之一”这是美国大学某教材《化学原理》中的一句话。书作者W.L.Masterton和E.J.Slowaski在此主要想表明马克斯威尔是一位可以与牛顿齐名的天才。但这也告诉我们要理解清楚分子运动速度分布的规律是要花费相当的思考力的。我们这里研究的降水统计模型也是沿着类似的思路建立起来的。所以，实际上一开始我们就先碰上一个较难理解的棘手问题。

为了仅仅针对我们的实际需要，把一个较为复杂的问题说得尽量简单，无意中联想到这个儿童浇花的例子。我想它或许较为容易地说明其中的道理。下面就从这个儿童浇花的例子下手逐步引入降水的基本统计模型。

   问题：在一个大圆圈上一共摆着N盆(例如l00盆)花。圆圈的中央有一个体积为v(例如50升)的水桶。现在一群二、三岁的幼儿每人拿着一只小水杯（杯的容量为△v，例如50毫升）。把桶中的水一杯杯地全部浇到各个花盆中去。如果仅要求每个花盆必须浇上水，那么可能会出现什么结局?!

可以想见，由于孩子的无知和任性，会使很多花盆浇了很多水，而另一些花盆得到的水很少．例如第一盆(其实那个算第一盆我们并没有规定)浇了2 5杯水，第二盆浇了l 3杯水，第三，四，五，…盆花得到了l 0，6，3……杯水．同样地，也可能第一，二，三，四…盆花分别得到了4，2l，17，8……杯水，等等。总之浇花的结局是会有很多种的。这里无形中存在一个关系：浇水的数量与该数量的花盆数量的关系。想来这就是一个函数关系。

现在把问题再扩大一层，设想园丁每天请小朋友们来浇花，这些任性的孩子势必使每天的狡猾情况都有各不相同，几乎无法预测的结果，或者说每天的不同浇水量的与其对应花盆数的函数关系不不同。但是久而久之，园丁或许会形成这样一个概念，即尽管孩子任性，可是每天浇了2 O杯水以上的花盆的总盆数或许变化并不大。说的再准确一点，即得到一杯、二杯、三杯…杯水的花盆数所分别占有的百分比似乎会有一个最可能的比例关系(分布)存在。

怎样理解“最可能”三个字?!这个比例关系如果存在，它具体是什么数学形式?!这是我们关心的问题。

§2  实现—种结局的具体方法有很多个

由于孩子的任性，每盆花浇了几杯水可以说是随机的。现在如果仅分析这100盆(N盆)花中仅有一盆花浇了25杯水(其他杯数也行)这一情况，那么它会是这100盆花中的那—盆呢?显然它可能是100盆中的任意—盆。或者说实现这一个结局：有—盆花浇了2 5杯水，会有100个具体的办法(有时我们对此称为实现这种结局的方法数为100，它们是一个含义)。

再者，如果l00盆中有两盆浇了25杯会有多少具体实现办法呢?这可以接着上面的问题分析对于第一盆浇了25杯水的每一个具体办法，有100个具体办法)再考虑如何进而实现另一盆也浇25杯水时不难看出这一个结局又会有99个具体办法。所以100盆中有两盆浇了25杯球(不是25是别的数也一律)水的这种结局一共有100×99=9900个具体实现的办法．

表5.1 不同浇花结局的个例

推而广之，如果问在N盆花中任选n₁盆花浇上例如x₁杯水，那么实现这—种结局的具体办法会有多少种呢？这也就是数学上的组合问题。数学上从N个中任取其中n₁个的具体方法数W₁应当是

W₁表示了N盆花中任取n₁盆花浇上若干杯（如x₁杯)水时，会有多少种浇花的具体办法的数量。这里N！代表N的阶乘，如5!=5×4×3×2×1=120 。

问题至此显然没有分析完，因为这N盆花是规定每盆花都要浇上一些水的。所以我们要进而分析在N盆中有n_l盆浇了x₁杯的同时，还有n₂盆浇了x₂杯，n₃盆浇了x₃杯，以至有n_p盆花浇了x_P杯水的这种结局有多少种浇花的办法。

在计算这个扩大了的问题之前一先让我们把这个扩大了的问题本身再说的清楚一些。现在要研究的并不仅是N盆中有n₁盆浇了x₁杯的问题，而是由我们任意给定一串数n₁，n₂，n₃，……n_p，让它们分别代表浇了x₁杯，x₂杯，x₃杯，…，x_p杯水的花盆的盆数（杯数与盆数要分辨开！）。这里x₁，x₂，x₃，…，x_p也是一些由人给定的一串数。对于这两串数(或说两个数组)给出不同的一个个的具体值，它就代表了—种结局。而问题仍是实现该结局会有多少个具体办法的问题。这里每一个结局是由两组由人给出的数来表示的。为清楚计，我们将它表示成下式（这两串数虽然由人门任意给，但也有两个约制条件，这在后边再分析）。

杯数：x₁，x₂，x₃，…，x_p

盆数：n₁，n₂，n₃，……n_p

为计算由上式的两组数所代表的一个确定结局会有多少种具体实现它的办法，我们要把前面仅从N个中任取n₁的计算办法再扩大化。前面得出从N盆中任取n_i盆浇x₁杯的办法数是 个。显然在N盆中已有n₁盆浇了x₁盆之后在余下的N-x₁盆中有n₂盆浇了x₂杯水的方法数w₂应当是即

这是说每一个具体的某n₁盆花浇了x₁杯水之后又有W₂这么多个具体的实现n₂盆浇上了x₁杯水的办法。由于有n₁盆浇x₁杯的方法共有W₁个，所以实现N盆中有n₁浇x₁杯同时有n₂盆浇x₂杯的具体办法就应当有W₁乘以W₂这么多个。

照此推而广之，实现N盆中有n₁盆浇了x₁杯同时n₂盆为x₂杯，n₃盆为x₃杯以至n_p盆x_p杯这种结局(这一个结局由两组数n₁，n₂，n₃，……n_p ；x₁，x₂，x₃，…，x_p表示)应当有W₁乘以W₂乘W₃乘……W_p这么多个具体办法实现它。如果把这p个W_i的连乘积记为W，那么应当有

将前面的关系代入上式得

  （5.1）

这就是实现一个给定结局时（对应于有n₁，n₂，n₃，……n_p盆分别为x₁，x₂，x₃，…，x_p杯，而这两串对应的数，对应了一个离散的函数），它的具体实现办法的个数W的计算公式。

好了，本博客先说到此，下一个博客讨论算例与约束