1804.10818.pdf   网络牵制控制点的选择

现实中的网络规模庞大，为了控制网络如果要在众多节点上都实施控制是不现实的。事实上合理地对一部分节点施加控制就可以使网络达到目标, 这在网络控制中称为牵制控制。自然界中例如线虫模拟发现不到17%的神经元可以激发其全身；蜂群中大约只要5%便可引导整群到一个新的巢点。      

那么对于大规模的复杂网络，究竟怎样选择牵制控制的节点呢，这是一个非常复杂的问题，它与网络的结构、节点动力学及节点间的耦合强度都有密切的关系。

最近我们在前人和我们原有工作基础上，提出自适应牵制控制和线性牵制控制达到同步的准则: 在节点动力学和耦合强度给定情况下, 牵制控制完全由Laplacian矩阵删去控制节点对应的行和列而得到的Grounded Laplacian（主子矩阵）的最小特征值决定，最小特征值越大越容易牵制控制；导出主子矩阵最小特征值上下界的精细估计, 包括:主子矩阵最小特征值与Laplacian特征值谱的关系；牵制节点和没有被牵制节点度数的关系、控制集之外节点与控制集连接的最小边数和平均边数的关系。在此基础上，我们发现

1）按度大小牵制控制并不是最优方法。如果一定要按度的大小控制，那么在牵制控制节点数较少时应优先控制度大节点,在控制节点较多时应优先控制度小节点。

2）从节点牵制控制看节点组重要性，也并不是按节点度大小排序。度大节点组合不一定成为重要的节点组，还取决于节点在网络中的位置。

另外还根据定理7设计了一种保证主子矩阵最小特征值至少为1的算法，实际上也提供了一种基于控制的网络节点组重要性排序方法。

图6表明：在优化控制节点较少时，应控制度大节点，而在优化控制节点较多时,应控制度小节点，文中定理6作了解释。

图7和表1是海豚网络按算法1与其它方法的比较

图8和表2是1133个节点的 email网络，算法1与其它方法的比较

Hui Liu（刘慧） , Xuanhong XuPinning（徐宣宏） , Jun-An Lu（陆君安） ,  Guanrong Chen（陈关荣），and Zhigang Zeng（曾志刚）, Optimal Pinning Control of Complex Dynamical NetworksBased on Spectral Properties of Grounded Laplacian Matrices, IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS,MAN AND CYBERNETICS: Systems，Regular Paper， 2019，arXiv:1804.10818