随便取一个正整x, 我们进行如下操作：如果x是偶数，那么我们将x除以2,得到新的数x/2；如果x是奇数，那么我们将x乘以3再加上1，得到新的数3x+1。接着我们再将这个新的数施行上述同样的操作，以此类推下去,总会得到1，这就是著名的3x+1猜想。在西方它常被称为西拉古斯(Syracuse)猜想，克拉兹(Collatz)问题，哈斯(Hasse)算法，乌拉姆(Ulam)问题等等。而在东方，这个问题被称作角谷猜想。以这么多数学家名字命名同一个猜想，足以看出这个猜想的难度。这个猜想是一个相当棘手的数学问题，许多数学家进行了认真的研究，但都没有取得成功。于是人们把这个猜想分成几个问题来研究，比如：

 1.1用实际计算实施验证，看能否找到反例？目前3x+1猜想已经被检，x=112589990684262400，都没有发现反例，而且这个记录被不断刷新^[1]。

1.2、对任意正整数x实施3x+1操作，到达1的总长度是否有限？已经知道的数2234047405400065的总长度为1871，这是目前为止已知的总长度最长的一个数^[2]。

1.3、对任意正整数x实施3x+1操作，是否总会到达1？数学家们已经证明，存在一个常数c和一个整数n，当n足够大的时候，在比n小的x中，能够到达1的个数大于等于nc, 目前c=0.81 ^[3]。

1.4、除了4-2-1这一完整循环，是否还存在其他循环？如果这样一个循环存在，那么它的长度应该大于102225496^[4]。

1.5、对任意正整数x实施3x+1操作，如果把其中除以2的变换称为“偶变换”并记为E(x)，而把乘以3再加1的变换称为“奇变换”并记为O(x)，是否存在O（x）/E（x）=log2/log3？已经证明O（x）/E（x）＜log2/log3 ^[5]。

从上述研究中，我们看到，人们对3x+1猜想的研究基本还停留在具体数字的计算验证阶段，我们已经看到一篇论文中已经解决了问题1.4^[6]，也看到了另一篇解决解决问题1.5的论文，也看大了证明3x+1猜想大有希望的论文，有兴趣者，可以与作者开展讨论哦。

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 References

[1] Tomas Oliveira e Silva  《3x +1 Conjecture data validation personal web pages》

http://www.ieetaNaN/~tos/3x+1.html

[2] Eric Roosendaal  《3x +1 conjecture researchers web》http://personal.computrain.nl/eric/wondrous/

[3]David Applegate Jeffrey C. Lagarias 《Density Bounds for the 3x+1 Problem II. Krasikov Inequalities》AT&T Bell Laboratories Murray Hill, NJ 07974，http://www.ams.org/journals/mcom/1995-64-209/S0025-5718-1995-1270613-2/S0025-5718-1995-1270613-2.pdf  

[4]Jeffrey C. Lagarias, 《The 3x+1 problem and its generalizations 》《The 3x + 1 Problem: An Annotated Bibliography (1963–1999)》Amer. Math. Monthly 92 (1985) 3-23. [Reprinted in: Conference on Organic Mathematics,Canadian Math. Society Conference Proceedings vol 20, 1997,  pp. 305-331] This paper is on the Web at: www.cecm.sfu.ca/organics/papers

[5] Jeffrey C. Lagarias 《The 3x + 1 Problem and Its Generalizations》 The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 1 (Jan., 1985), pp. 3-23 ， URL: http://www.jstor.org/stable/2322189

[5] Jeffrey C. Lagarias  《The 3x+1 Problem: An Annotated Bibliography, II (2000-2009)》Web at: http://arxiv.org/abs/math/060820811.pdf

  [6] su fa-wang  《The 3x+1 conjecture a proof of circulation problems.pdf》，2013-08-08

https://skydrive.live.com/view.aspx?cid=F896FED8A1B850B6&resid=F896FED8A1B850B6%21295&app=WordPdf

   [7] Engel 《Engel Expansions》，Wikipedia

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%81%A9%E6%A0%BC%E5%B0%94%E5%B1%95%E5%BC%80%E5%BC%8F