可变系时空多线矢物理学 (接 17)

18.各维时空多线矢牵引运动的变换矩阵

    由于4维时空矢算，产生各维的时空多线矢，其相应的各维时空多线矢牵引运动，就有各自相应不同的变换矩阵：

非惯性牵引运动，各3角函数由各位置函数代入，变换随时

间改变; 惯性牵引运动，各3角函数由各速度函数代入，变换不随时间改变。

(1)    2维的牵引运动矢量

r(2)=(r1^2+r2^2 ^(1/2), v(2)=(v1^2+v2^2)^(1/2),

c=cosA=r1/r(2), s=sinA=r2/r(2),

  由以*为中心变换到以’为中心，相应的变换矩阵变换是：

r1’= cr1* -sr2*            

r2’= sr1* +cr2*  

(2)    3维的牵引运动矢量

r(3)=(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2), v(3)=(v1^2+v2^2+v3^2)^(1/2),

r(2)=(r2^2+r3^2)^(1/2),      v(2)=(v22^+v3^2)^(1/2),

cA=cosA=r1/r(3), sA=sinA=r(2)/r(3),

cB=cosB=r2/r(2), sB=sinB=r3/r(2),

  由以*为中心变换到以’为中心，相应的变换矩阵变换是：

r1’=r1*cA    - r2*sA     0    

r2’= r1*sAcB +r2*cAcB -r3*sB

r3’= r1*sAsB +r2*cAsB + r3*cB

  以上可见，经典距离矢量的牵引运动的变换都是伽利略变换，非惯性牵引运动是因有3维空间牵引的力，牵引运动的变换也会随时间改变，而有空间弯曲。

(3)    4维时空牵引运动

r(4)=(-r0^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2), r0=vt，v=c(光)或a*(声)，(下同)

r(3)=(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2), r(2)=(r2^2+r3^2)^(1/2),

cA=cosA=ir0/r(4), sA=sinA=r(3)/r(4),

cB=cosB=r1/r(3), sB=sinB=r(2)/r(3),

cC=cosC=r2/r(2), sC=sinC=r3/r(2),

由以*为中心变换到以‘为中心，相应的变换矩阵变换是：

ir0’=ir0*cA -r1*sA    0     0 

r1’=ir0*sAcB +r1*cAcB -r2*sB   0 

r2’=ir0*sAsBcC+r1*cAsBcC+r2*cBcC-r3*sC 

r3’=ir0*sAsBsC+r1*cAsBsC+r2*cBsC+r3*cC  

  还可以是：

r(4)=(-r0^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),

v(4)=(-v0^2+v1^2+v2^2+v3^2)^(1/2),

cA=cosA=r1/r(4), sA=sinA=r(3)/r(4), r(3)={-r0^2+r2^2+r3^2}^(1/2),

cB=cosB=r(2)/r(3), sB=sinB=r3/r(3), r(2)={-r0^2+r2^2}^(1/2),

  由以*为中心变换到以‘为中心，相应的变换矩阵变换是：

ir0’=ir0*cA-r1*sA-r2*cB+r3*sB

r1’=ir0*sA+r1*cA-r2*sB-r3*cB

r2’=ir0*cB-r1*sB+r2*cA-r3*sA

r3’=ir0*sB+r1*cB+r2*sA+r3*cA

惯性牵引运动，各3角函数可由各速度函数代入，是洛伦兹变换，

变换不随时间改变。

对于非惯性牵引运动，各3角函数就必须由各位置函数代入，就不同于洛伦兹变换，变换随时间改变，而出现时空的弯曲，通常不变坐标系的矢量已不适用，因而，广义相对论，就不得不放弃矢量，采用曲线坐标、黎曼几何、度归张量并类比静电场转变为电磁场的规律，导出“引力场方程”。

(4)    6维的牵引运动矢量

r(6)={-r01^2-r02^2-r03^2+r23^2+r31^2+r12^2}^(1/2),

r(3)={-r01^2-r02^2-r03^2}^(1/2), r(2)={-r02^2-r03^2}^(1/2),

r(3.)={r23^2+r31^2+r12^2}^(1/2), r(2.)={r31^2+r12^2}^(1/2),

cA=ir01/r(3), sA=r(2)/r(3), cB=ir02/r(2), sB=ir03/r(2),

cC=r23/r(3.), sC=r(2.)/r(3.), cD=r31/r(2.), sD=r12/r(2.),

  由以*为中心变换到以‘为中心，相应的变换矩阵变换是：

ir01’=ir01*cA -ir02*sA   0   -r23*cC  +r31*sC  0

ir02’=ir01*sAcB+ir02*cAcB -ir03*sB–r23*sCcD-r31*cCcD+r12*sD

ir03’=ir01*sAsB+ir02*cAsB+ir03*cB–r23*sCsD-r31*cCsD-r12*cD 

r23’=ir01*cC   -ir02*sC 0   +r23*cA -r31*sA   0

r31’=ir01*sCcD+ir02*cCcD-ir03*sD+r23*sAcB+r31*cAcB -r12*sB

r12’=ir01*sCsD+ir02*cCsD+ir03*cD+r23*sAsB+r31*cAsB +r12*cB  

   对于时空自旋力和时空电磁力是6维的力，其相应牵引运动就必须使用这种变换。

(未完待续)