光速至高至大，又以直线传播，谓之神、权合一。

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周二走到原著第3节，算是做个“预推导”，至少标识了几个费解之处。到了这一节，作者在动系（k）列出了同步判据：tao1=(tao0+tao2)/2  （1），其中tao0，tao1，tao2是动系时钟的读数。若按第2节的“铰接”规定，动系和静系的时钟，在读数上总是一致的（按一般的理解）。由于记录下来的数字不会因为相对运动而变化，从动系或从静系来看它们，都不会有任何分别。譬如，静系动系中的人看到自家钟的判据读数为：tao0=0，tao1=1，tao2=2。由此必然有1=(0+2)/2，即 tao1=(tao0+tao2)/2。所以，动系的人会宣称自家的两只钟同步。

按照两个式子右端判断，tB - tA ≠ t'A - tB。据此，静系中的观察者宣称对家的两只钟不同步。可是，按照观测数据 tB - tA=1-0=1，t'A - tB=2-1=1，于是又有 tB - tA=t'A - tB。

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看到上面得到两个矛盾的等式——数学家可能会扭头走掉了。可是，哲学家会觉得这恰恰是有趣的地方：鱼与熊掌不可兼得，舍鱼而取熊掌者也。就是说，这里头有个优先权的问题。扭头走掉，还是往前走？走掉的话，什么也得不到；往下走，虽冒天下之大不韪，或能得不可得之物。再者，大肚能容，容天下难容之事，谓之神。（法国人喜欢讲 “Yes & No”，起初会让外人感到惊讶，但那恰恰就是欧洲人的日常思维！）。

话虽如此，矛盾还得解决。我们可以说，那是一个“表观上的矛盾”。由于运动的原因，静系中的人得到的观测数据接入了有伸缩的空间 —— 数字还是那个数字，但刻度的间距改变了，数字也就废掉了，于是观测数据层面的直接计算对于静系不再有效了。又或者，若非得用那些数据算，就得先进行数据处理、还原本真，之后在（处理过的）观测数据层面的“直接”计算才有效。（我读高中的时候，一位物理老师曾夸奖我“心思细密”。时至今日，当初也可给我提出警告：若心思过于细密，则过犹不及也）。

继续本节的推导。作者视乎tao为x'，y，z，t 的函数，其中x'是动系（k）中固定的某个点之静系坐标，作者并令x'=x-vt；动系中固定的点x'充当着动杆的B端（A端取作动系的原点）；在 t 时刻，动系原点与静系原点重合。于是，按照动系中的同步判据，并结合静系中的观测，得到：

1/2[tao(0,0,0,t)+tao(0,0,0,{t+x'/(V-v)+x'/(V+v)})]=tao(x',0,0,t+x'/(V-v)). （2）

我的评论：此式一出，天地动容、鬼神皆泣！此狭义相对论之核心方程是也。好险、好险，差点错过它（吴大猷老师的书里没写这个方程）。由于是从这个方程出发，你会感到，作者推导出洛伦兹变换应该是个巧合！这个方程也可以看做狭义相对论的“数据处理”方程。（回头啊，我计划检查所有物理学大咖对狭义相对论的理解，看看他们怎么说）。

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注释：关于（2）式中各自变量的取值。tao为 x'，y，z，t 的函数，即tao=tao(x',y,z,t)。由于光信号沿着X轴传播，则有y=0, z=0。在时刻t，光信号在杆的A端，即动系（k）的原点，它与静系的原点重合，从而有tao(0,0,0,t)，即（2）的左端第一项；若认为此时x'=0，则tao函数中第一个自变量应该视乎为“光线的位移”（这个位移中排除了惯性系的位移）。光线到达杆的B端时，静系时刻为t+x'/(V-v)，光线的位移为x'，故而有tao(x',0,0,x'/(V-v))。光线返回杆的A端时，静系时刻为 t+x'/(V-v)+x'/(V+v)，此时光线的位移x'=0；这里 x' 似乎同时承担了两个角色：杆B端在静系中的坐标，以及光线的位移。“杆B端在静系中的坐标” 这个概念不大对头，由于杆总是以速度v向右运动，这个概念会带来惯性位移。因按此，x'承担的另一角色应该解释为光线在杆上的最大位移（从静系看）。

原著中这句话值得注意：“如果我们设x'=x-vt，那末显然，对于一个在k系中静止的点，就必定有一组同时间无关的值 x'，y，z。”（暂时理解不了...忽然想到，x-vt 似乎有排除惯性位移的意思！设动系（k）中静止的某个点在静系中的坐标为x，那么这个点会随时间向右发生位移vt，不管x走到哪里，叠加上“-vt”就给拉回来了，所以x-vt与时间无关了！这么给出来的x'=x-vt）。各位，我不需要擦掉之前不确切或谬误的内容，这就叫做“运作的观点”。（以前看过记者采访某服装设计师的纪录片，大师曰：在这个行当，你必须在脚下的这块地板塌陷之前踩到一块新的地板上。其实我也时常思考这件事情，就是过去的那个遭遇有点像这类情况。性格适合攻坚、或做独一无二的事情，但应对不了快速变化的境况，也不喜欢去竞赛 —— 只有占有绝对优势的时候才会赢。又想起一件事，佩雷尔曼其实是个啃老族。Tom Zhang则选择啃单位。我也啃呀）。

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不论如何，（2）式中 x' 明显出现的地方都表示同样的值，而它该取0的地方都已经用0赋值了，从而（2）式里面没有什么矛盾之处。（x' 以及取x'=x-vt的所蕴含的“手法”值得注意）。

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为了求解（2）这个方程，是的，你没看错，作者是拿（2）当作方程来看待的，伟大！而洛伦兹变换就是从这个方程里给解了出来。对于（2），作者写道（原著中译）：

1/2(1/(V-v)+1/(V+v))∂tao/∂t=∂tao/∂x'+1/(V-v)∂tao/∂t，  （3）

∂tao/∂x'+v/(V^2-v^2)∂tao/∂t=0. （4）

    应当指出，我们可以不选坐标原点，而选任何别的点作为光线的出发点，因此刚才导出的方程对于x'，y，z的一切数值都成立。

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为了醒目和方便，引用部分的两个方程高亮表示，并分别编号为（3）和（4）。先讨论由（2）到（3）的详细推导，也就是“恢复”作者在原著里省略的“技术内幕”，我要把它挖出来。“我们设 x' 为无限小”，这个就理解为“元操作”（起源待考），仍然是从 x' 入手。

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现在是周四上午7:50许。刚才忽然想到一点，x'=x-vt中的x会不会是动系中某个点在静系中的坐标？作者强调x'与时间无关（见上文第一个蓝色字体引用），那么x'关于 t 的导数就该是零。这意味着 0=dx'/dt=dx/dt-v（即dx/dt=v），而只有当x表示动系中静止点的坐标时，才会有dx/dt=v。（先这么理解，出现矛盾的话再重新考虑。总之，x' 有点诡异，不行的话回头看能不能走出另外的路）。

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给方程（2）的两端关于 t 求偏导数（推导中暂时假定 t 是 x' 的自变量，而且让dx'/dt=非零常数）。

左端得：1/2{∂tao/∂t+∂tao/∂t[1+dx'/dt 1/(V-v)+dx'/dt 1/(V+v)]}=∂tao/∂t+1/2[1/(V-v)+1/(V+v)]∂tao/∂tdx'/dt .

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注释：如果以上演算是作者的路线，那么他所言的“我们设x'为无限小” 在效果上就等价于令dx'/dt=非零常数。而稍靠前的讨论得到 dx'/dt =0。看上去是有些矛盾的。可是，取dx'/dt=0 会得到“0=0”这种方程，方程的信息就全部丢失了。可见，作者在这里运用了古老的魔法，就是牛顿用过的那种“呼之则来、挥之则去”之法则：方程两边求导得到的零因子可以用非零小量替换，若替换得到的非零小量可以从方程两边约去。看来，巨人们总是一脉相承的。。。对了，我是想到，原著是谁给审稿的？审稿人又有哪些评论？作者又是如何答复的？这些问题值得探究。橙色加厚的部分可视乎为“元操作”（考虑到它的伟大起源和严重后果，此元操作非同寻常，堪称“神操作”，或曰“牛顿元操作”。耶耶耶~）。看上去，物理学中的“无穷小量” 既是零又不是零，它是指“足够小”：做为加法项可以小到忽略不计（相当于零），做为乘法项又可以进行约分（相当于非零常数）。这个事情值得注意。我的评注：“无穷小量”比“零”更好用。

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最后，由（3）整理同类项（初中代数），即得（4）。（这里提及“初中代数”，倒没有看轻之意，只是注意到一种现象：本来不难的运算，出现在特定的上下文中，也会把一众人吓退三千里！作者列出（3）式，降低了台阶，高尚之举也。上面列出方程（4）后有一句话，应该不难，但也不是一眼就看得清。留待下回分解）。

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