有多少人推导过1905年的文章？

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周六* 求解了那个微分方程，得到tao函数的表达式：tao = a [ t-v/(V^2-v^2) x' ]，其中 a 为待定的函数ϕ(v)，x'=x-vt；并且，规定在动系（k）的原点：当tao=0时，t=0。今天就推导原著第3节的剩余部分。回顾，静系和动系各自有坐标系K和k，一个事件在K系用数组（x,y,z,t）表达，而在k系用数组（xi, eta, zeta, tao）表达。任务是建立两套坐标系的变换关系。现在已经初步得到tao的表达式，继续推导xi、eta、zeta的表达式。

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xi是动系（k）里的X轴坐标。要有光。那就在动系里考察光的运动吧。显然，有 xi=V·tao。光速为V，乘以时间变量tao，就得到了位移 xi。这是把光的传播看做匀速直线运动来对待了。把tao函数的表达式代入，得到：

xi=aV[t-v/(V^2-v^2)x'].

转而“在静系里量度，这道光线相对于k的原点以速度V-v传播，因此得到：x'/(V-v)=t.” 从这句话可以看出，x' 的确表示光线的位移（从静系看），V-v 则是光线的速度（从静系看光相对于动系原点的速度），仍然按匀速直线运动对待。这里要注意“光线相对于 k 的原点”这个表述——为什么不说“光线相对于k系”？可能是出于这个考虑，k系的原点不会相对于它自己有任何变化。

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接着，把蓝色字体里 t 的表达式代入xi 的表达式，有：

xi=aV[x'/(V-v)-v/(V^2-v^2) x']

  =a[Vx'(V+v)-Vvx']/(V^2-v^2)

  =a[V^2x'+Vvx'-Vvx']/(V^2-v^2)

  =aV^2/(V^2-v^2) x'. 

即：xi = aV^2/(V^2-v^2) x'.

注释：以上两段的推导里体现出 “以动为主、动静结合” 的模式——先在动系里列出方程，然后在静系里列出方程，再代回动系的方程。（之前提到的狭义相对论基本方程也类似，先列出动系的同步判据，再把静系判据代入动系的同步判据，就得到了那个基本方程——动系的同步判据里“嵌入”了静系的判据！那个基本方程是“同步”与“不同步”的共同体，刻画了同一现象的两个方面，乃狭义相对论之“元贡献”）。

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以上推导是动系（k）X轴上的情况，得到了 xi 的初步表达式。类似地，推导动系（k）的Y轴变量eta的（初步）表达式，考察光沿着动系Y轴传播的光线，有：

eta=V·tao = aV[t-v/(V^2-v^2) x'].

转而在静系里量度（仿照原著），这道光线相对于k的原点以速度sqrt(V^2-v^2)传播，因此得到：y/sqrt(V^2-v^2)= t. 作者特别写出，此处 x'=0。可见，x' 的取值跟动系相对于静系的运动方向有关系（相对运动速度v在Y轴上没有分量）。特别是，动系时间tao的表达式，是从X轴的光线传播推导出来的，那里引入的x'=x-vt 只在X轴的上下文中有意义。这就是说，x'作为“光线的位移”仅是有相对运动的方向上的位移，在Y轴（或Z轴）上没有x'作为光线的位移，从而x'=0。总之，x' 关联着相对运动的方向。由此，把静系里的Y轴上得到的 t= y/sqrt(V^2-v^2) 和 x'=0 代回eta的动系表达式，得到：

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注释：从静系看，动系Y轴上光线的位移是用静系坐标 y 表示的。而之前，（从静系看）动系X轴上光线的位移则是用静系坐标x'表示的，且x'=x-vt；似乎可以把 x' 理解为（从静系看）“光线相对于动系原点的位移”，这个表述更准确些。这样，x 就意味着光线按经典观点相对于动系原点的位移，也就是说，x'=x-vt 里排除了惯性位移。当然，作者没有明显这样说，1905年的文章里也找不到“惯性位移”这个名词。当然，这样解释 x' 仍存在一定的矛盾，即dx'/dt应该是无穷小量——或许，这就是作者早先“设 x' 为无限小”的原因所在！若硬要走通数学。。则令x=S+vt，其中S为“光的绝对位移”，且规定dS/dt=V，则有dx'/dt=dx/dt-v=dS/dt+v-v=dS/dt=V —— 非零常量（回头再带上这个“新”发现重温之前的推导）。

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小结：以上推导出了 动系坐标 tao, xi, eta, zeta 的初步表达式（见绿色加厚字体），每个式子里都有个待定的a。

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其实，还需要继续整理。把x'=x-vt代入tao的初步表达式，有：

tao=a [t-1/(1-v^2/V^2)·v/V^2·x']

     =a [t-1/(1-v^2/V^2)·v/V^2·(x-vt)]

     =a {t·[(1-v^2/V^2)·V^2+v^2]/[(1-v^2/V^2)·V^2]-x/(1-v^2/V^2)·v/V^2}

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另外两个坐标，eta和zeta的表达式只是引入了beta的记号，然后beta和a又放入了ϕ(v)，即：

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综合起来，动系（k）的四个坐标已经表示为静系（K）的四个坐标的算式：

其中，ϕ(v)为待定量，β=1/sqrt(1-v^2/V^2)。