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...他解释说他的大部分工作都标记着“服务的态度”*。

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（接上回*）Lemma 3.2. Assume that Theorem 1.6 holds in dimension ≤ d and that Theorem 1.1 holds in dimension ≤ d - 1. Then Theorem 1.4 holds in dimension d.

评论：此引理的证明有两大段 “Pick...Since...”，上回读写了第一段，此次读写第二段。

Since (Y, BY + s LY) is klt weak log Fano, Y is Fano type.

既然 (Y, BY + s LY) 是 klt weak log Fano, 则 Y 是 Fano type.

注：前半句突然，像是“显然”，但不晓得怎么看出来的（？）。整句是通的。

Run an MMP on -T and let Y' --> Z' be the resulting Mori fibre space. Then

- (KY' + BY' + sLY') ~ R(1-s)LY' ≥ 0.

在 -T上运行MMP，并令 Y' --> Z' 为 Mori 纤维空间。则有

- (KY' + BY' + sLY') ~ R (1-s) LY' ≥ 0.

注：T和Y是上一段产生的（见 Pick...），Y' 和 Z' 是这儿新产生的。这里第二句看不出（?）。

Moreover, (Y', BY' + s LY') is eps'-lc because (Y, BY + s LY) is eps'-lc and -(KY + BY + s LY) is semi-ample.

进一步，(Y', BY' + s LY') 是 eps'-lc的，因为 (Y, BY + s LY) 是 eps'-lc的并且 -(KY + BY + s LY) 是 semi-ample的.

注：此段第一句说“(Y, BY + s LY) is klt weak log Fano”，而此处又说“ (Y, BY + s LY) is eps'-lc”，似乎用到eps'-lc的双重性（凡是eps-lc，都是klt？）  。

If dim Z'>0, then restricting to a general fibre of Y' --> Z' and applying Theorem 1.4 in lower dimension by induction (or applying Theorem 1.1) shows that the coefficients of the horizontal/Z' components of (1 - s)LY' are bounded from above.

若 dim Z'>0，则限制到 Y' --> Z' 的一般的纤维，并通过归纳法应用低维的定理1.4（或应用定理1.1），表明 (1-s)LY' 的横向/Z' 分量的系数存在上界。

注：没感觉了（?）。

In particular, μT'(1-s)LY' is bounded from above. Thus from the inequality

μT'(1-s)LY' ≥ (1-s)(eps-eps')/s,

we deduce that s is bounded from below away from zero.

特别地， μT'(1-s)LY' 存在上界。则由不等式

μT'(1-s)LY' ≥ (1-s)(eps-eps')/s,

可推出 s 存在正的下界.

注：(1-s)两边约掉了（？）。

Therefore, we can assume Z' is a point and that Y' is a Fano variety with Picard number one. Now

- KY' ~ R(1-s)LY' + BY' + sLY' >= (1-s)LY',

so by Proposition 3.1, muT'(1-s)LY' is bounded from above which again gives a lower bound for s as before.

因此，可假定Z'是一个点而Y'是个带有Picard数1的Fano型簇。现在

- KY' ~ R(1-s)LY' + BY' + sLY' >= (1-s)LY',

因此由命题3.1，muT'(1-s)LY'存在上界，这再次给出s的下界（如之前那样）。

注：没感觉。

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小结：完成引理3.2第二段证明的读写（效果上，只能说是“泡”了一会儿数学~ ）。

* * *

临时想法：也许，读写定理的证明时，也该从后往前走！（更加彻底的“回到顶端”，其实就是彻底的逆向法、倒着走...）。

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