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配对的加权法总是用到另一个边界

已有 1560 次阅读 2019-3-4 18:08 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

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本期开始分组发送邮件，搭载数学类学院等链接。

今日学院：暂无。|| 符号大全、上下标.|| 常用：↑↓ ← → π ΓΔΛμφΣ∈ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ≠ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .

(接前：03 02 01) 命题5.5的证明.

Step3. 第一段(逐句评论).

We claim that there is a positive real number t ∈ (0, 1/2) depending only on d, r such that (Z, Θ + tC) is lc away from z.

---- Step2末尾提到 (Z, C) 在远 z 处未必 eps-lc，此处说，对边界做个简单修改，则可达到在远 z 处 lc.

---- 体现出命题中出现两个边界的来由.

---- 这里是在像空间说事.

Pick a closed point y ∈ Z other than z.

---- 从取一个点开始.
---- 早先已经见到这种“格式”，该是一种方法.

If y is not contained in Θ, we can apply Lemma 5.4 to find t > 0 bounded from below away from zero so that (Z, tC) is klt, hence (Z, Θ + tC) is klt near y.

---- 从上下文可看出，Z 是大空间，其它对象如 Θ 和 C 都包含在 Z 中.

---- 引理5.4 暂时跳过去.

Now assume y is contained in Θ, hence it is contained in some stratum G of (Z, Θ) of miminal dimension.

---- 这句话表明，closed point 若属于“边界”，则它也属于此边界和大空间构成的配对的极小维 stratum 里头.

---- “边界”其实是大空间的子集，作参照之用.

评论：此句和上句是“分情况讨论法”.

Note that G is positive-dimensional and degH'C|G = degHC ≤ r where H' on G is the restriction of a general hyperplane H.

---- 不等式的来由在命题5.2.

(当前的命题5.5完全包含了那个命题的条件).

---- 等式的来由待考(?)

Moreover, G is not inside Supp C, by Step2.

---- 此句来由很清楚，即 Step2.

Applying Lemma 5.4 again, we find t > 0 bounded from below away from zero such that (G, tC|G) is klt.

---- 这里是将(Z, tC) 限制到 G.

---- 这样得到的局部配对是 klt 的.

Thus by inversion of adjunction, (Z, Θ + tC) is lc near y because in a neighbourhood of y we have KG + tC|G = (Kz + Θ +tC)|G.

---- 最后一个公式似乎用到了 Th|G = 0. (?)

---- “inversion of adjunction”(?)之前出现过，这里再次出现，意味着它是方法(待考).

This proves the existence of t as claimed.

小结：Step3采用加权法调整(Z, C)，使得调整后的配对是 lc 的. 配对的加权法总是用到另一个边界. 此步骤只涉及像空间.

温习：

Step1, 第一段“调制”条件，用于第二段调用命题5.2，得到 π (暂称“基础态射”) .

Step2, 第一段将条件中的两个配对局部化(像空间及解析同构)，主配对的像保持eps-lc(局部)，Λ-配对的像保持“禁”(全局，但通过局部刻画). 第二段转向 T，从中心出发，构造出 blowups 序列(关于起始配对“toroidal”)，T 作为最后blowup 的 exceptional divisor; 中间配对保持 log smooth 和 reduced boundary (此段的要点是: T 的中心是Λ-配对的 lc centre 和 stratum，由此触发链锁 blowups; 构造中间配对时，要有个回拉的步骤). 第三段是讲像空间中的 blowups 序列，局部化起到某种作用(?)，圆盘关系在像空间保持. 第四段提到原空间中的X, B, Λ 不能由像替代，原因是eps-lc 在 z 的远处未必保持.