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W\' 若想组成配对，需要有一边界.

已有 1776 次阅读 2019-3-9 20:51 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

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本期开始分组发送邮件，搭载数学类学院等链接。

今日学院：暂无。|| 符号大全、上下标.|| 常用：↑↓ ← → π ΓΔΛμφΣ∈ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ≠ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .

(接前：07 05 04) 命题5.5的证明.

Step5. 第二段(逐句评论).

Let Kw' + Δw' be the pullback of KZ + Δ.

---- Kz + Δ 是配对 (Z, Δ) 的运算形式.

---- W' 是上一步通过MMP 得到的 toric variety.

---- W' 若想组成配对，需要有一边界.

---- 而 W' --> Z 构成(双有理)态射.

---- 这种情况下可按箭头所指空间的配对，就其运算形式做个“回拉”，带出所需边界.

---- 这个边界要配 W'，且与 Z 的边界 Δ 或有联系，故采用符号 “Δw' ”.

(以上基于早先多次观察到的类似情况).

Then Δw' is effective as a(R, Z, Δ) ≤ 1.

---- Step4末尾有 a(R, Z, D) ≤ 1. Δ ≥ D.

---- 但并没有直接指出 a(R, Z, Δ) ≤ 1.

{温习：log discrepancy (即泛函a).

---- 设主集合 X，配上边界 B，得到配对(X, B).

---- 再引入另一集合W，构成 W --> X.

---- 对运行形式 Kx + B 做回拉得：Kw + Bw.

---- D 在 W 上关于 (X, B) 的 log discrepancy:

a(D, X, B) = 1 - μDBw.

---- Bw是回拉得到的边界.

---- 式中 μDBw 是如下展开式的系数 d：

Bw = ...+ dD +...

D 可想象成坐标轴之一，d 则想象成相应坐标.

---- 注意，定义要求 D 是不可约的.}

回到命题5.5 (参 Step4)...

---- 好了，(Z, Δ) 是 eps'-lc型，则对每个不可约除子P，都有 a(P, Z, Δ) ≥ eps'. 假定R是不可约的，则有 a(R, Z, Δ) ≥ eps'.

---- Δ ≥ D，可写作 Δ = D + δ.

---- 但这里不能用边界分配率(不是标准加权).

... 回到泛函 a 的定义.

---- a(R, Z, Δ) = 1 - μRΔw'.

---- μRΔw' 是如下展开式的系数 r:

Δw' = ...+ rR +...

---- 由配对(Z, Δ)的类型，知道 r ≤ 1- eps'.

---- eps'=(t/2)eps, t ∈ (0, 1/2), 且 eps ≤ 1.

---- 由此，eps'<1/4.

---- r 的上界是1以内的正数，但 r 是否为正?

评论：暂时暂时证明不了 a(R, Z, Δ) ≤ 1.

---- 但上面温习中顺带搞清了 “lc place”*的概念.

Moreover, -Kw' is big by construction.

---- “big” 已多次出现，但不晓得指什么?

---- 刚查到一个定义*

A big line bundle L on X of dimension n is a line bundle such that

\displaystyle \limsup _{l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0

---- 太复杂了，只看出它是某种 line bundle.

---- 点开句子开头的链接，有更多解释*：

A line bundle is big if it is of maximal Iitaka dimension, that is, if its Iitaka dimension is equal to the dimension of the underlying variety. Bigness is a birational invariant: If f : Y → X is a birational morphism of varieties, and if L is a big line bundle on X, then f^*L is a big line bundle on Y.

All ample line bundles are big.

Big line bundles need not determine birational isomorphisms of X with its image. For example, if C is a hyperelliptic curve (such as a curve of genus two), then its canonical bundle is big, but the rational map it determines is not a birational isomorphism. Instead, it is a two-to-one cover of the canonical curve of C, which is a rational normal curve.

评论：这些对理解当前句子用处不大.

---- 可能是(Z, Δ) eps'-lc 以及 a(R, Z, Δ) ≤ 1 引起 “ -Kw' is big” .

Now run an MMP on -Kw' and let W'' be the resulting model.

---- Kw' 是 W' 的“柄”.

---- 通常“主簇”总是通过“柄”对外交涉.

---- 经常地，倾向于使用“负柄”.

---- 此处表明，MMP 作用于“负柄”是惯用手法.

---- 公式化：MMP(负柄) = 主簇2.

Again, W'' is a toric variety, and -Kw'' is nef and big.

---- 主簇2 保持主簇的属性.

---- 主簇2 的负柄增加了 nef 属性.

Moreover, since (W', Δw') is eps'-lc, (W'', Δw'') is eps'-lc too.

---- 之前未证明 (W', Δw') 是 eps'-lc 型.

---- 这也是一种做法(省略明显的证明).

---- 但暂时看不出明显在哪里(?).

Thus W'' is an eps'-lc toric weak Fano variety.

---- 到达一个关键点：归到 toric 式的 eps'-lc 型弱法诺簇.

注：原作没有用黑体，这里作为强调之用.

Now by [7], W'' belongs to a bounded family of varieties depending only on d, eps'.

---- W'' 属于有界族.

---- [7] 该是提出BAB猜想的文章.

---- 标题是“Singular toric Fano varieties”.

Therefore, there is a natural number n > 1 depending only on d, eps' such that |-nKw''| is base point free, in particular, Kw'' has an n-complement Kw'' + Ωw'' which is klt.

---- 属于有界族 ==> klt n-补 ?

---- “base point free” 头一回见到.

---- 也许Sect.3 提到过.(?).

This in turn gives an n-complement Kw' + Ωw' of Kw', hence an n-complement Kz + Ω of Kz which is klt.

---- 通过“传递效应” 最终得到 Kz 的 n-complement.

---- 转了一圈，给Z空间带回来个n-complement.

---- 这里的 Z 空间是 lPᵈ = ProjC[t0,...,td].

小结：Step5 第二段的落点是找到Kz的n-complement，触发点是对 -Kw' 做MMP (-Kw' 是对 Kz + Δ 做回拉得到，具有属性“big”).

温习：Step5.第一段. 接Step2，像空间得到的 toric blowups 序列，其末尾的 W 是 toric variety. 尾部以上的 exceptional divisor 求和，并对其做 MMP，得到 W' 也是 toric variety，同时形成双有理态射 ψ: W' --> Z. 特别地，R 的双有理变换是 ψ 的仅有 exceptional divisor. (注：MMP 压缩了 blowups 序列中尾部以上的所有 exceptional divisors).