[注：下文是群邮件的内容，标题是另拟的(引自下文)。]

放假了...

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最近读了一个帖子，如何在30分钟内介绍 Galois 理论。又名给非数学家看的Galois理论。由此了解到伽罗瓦理论的出发点 —— 韦达定理。这个定理在中学就提到过，就是多项式方程的根与系数的关系：每个系数都用方程的根表达。特别地，在那一套关系中，交换任何两个根的位置，不会影响到系数（这种不变性就是对称了）。

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伽罗瓦将根的所有可能的排列称作一个“群”。此群分为两类(我的理解)：一类对应于可根式求解，另一类对应于不可根式求解。当然，整个事情没有那么简单，涉及到一系列概念和手续。笼统地想，n次多项式方程有些是可以根式表达的，有些靠开方算不出来，特别是 n 超过4时。这样多项式方程自然分为两类。对于能算出来的那一类给出一个统一的刻画 (即从“群”里分出一类)，大概就是伽罗瓦理论的核心了（待考）。

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可以用 “方” 和 “法” 套一下这个事情。令 x 表示线段，此为 “法”。以前说过，可以把线段看作 “法”（“法”在汉字中的本义是“去除不直”）。由 x 得到 “诸方”：1, x, x^2,..., x^n，然后配上系数求和。这样就得到了多项式，也可看作 “诸方之和”。这一步蕴含 “方成于法” (法 ~> 方)。可以看出，多项式是 “方法” 的一个实例 (instance)。之前说过，“方” 和 “法” 是有 “神性” 的 (非宗教意义)。此处它们代表多项式里的两种元素，其中 “法” 更为基本。

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早期对于多项式的理论研究，韦达定理迈出了重要的一步。之后一直停留在那里。这里有一个疑问：韦达本人有没有注意到其中的 “不变性” ？也许韦达本人曾观察到其中的不变性，但没有在意。由于不变性意味着对称 (“法” 的另一形式)，韦达定理迈出的这一步蕴含 “法现于方” (方 ~> 法)。伽罗瓦接手了这个“法” (即对称)，由它生发出一个集合 (可看作 “方” )：根的所有排列构成的集合 (伽罗瓦称之为 “群”)。此处，“排列” 既可以看作排列所得的结果，也可以看作排列的操作。伽罗瓦的这一步蕴含 “方成于法” (法 ~> 方)。

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排列既看作结果又看作操作，这一点很妙。可是，如果停留在这里，什么也不会有。伽罗瓦看出这种操作(记作 f)的一个性质：f(a + b)= f(a) + f(b) 并且 f (ab) = f(a) f(b)。然后好像是用这种性质反过来定义出称作 “自同构” 的概念（待考）。这种 “出于之而高于之” 的手法非常重要。这一步蕴含“法现于方” (映射可看作 “法”) 。

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以上考察了伽罗瓦理论的最初几步。可以看出，在 “方” 和 “法” 的层面加以考察，有助于把握其中的脉络。至于 “方” 和 “法” 的实例，可在数学的各门类中予以识别。如果认定 “神性可以传递”，就不会因为从韦达定理出现突破而感到特别奇怪了。(我喜欢思考 “为什么是它？” 这类问题。特别地，我不喜欢任何想当然)。

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撰写以上文字的 “冲动” 源于早先关于 “法” 和 “对称” 的认知（即 “对称” 作为 “法” 的实例。确实，线段本身是个对称的 “物件”），而韦达定理 (恰好) 蕴含对称。由于那里的对称是由置换体现的，所以置换也是蕴含在里头的。伽罗瓦如何想到把所有的置换收集起来？又如何想出自同构的概念？可能跟他的某种经验或认知有关。

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最近也产生另一个想法。数学各门类的教材应该围绕 “中心问题” 展开论述。比如，线性代数的中心问题就是线性方程组。行列式、矩阵、向量空间都是解决这个问题时派生的辅助语言，尽管各自也形成了体系，并且在其它问题中也找到了用处。中学里学习过三元线性方程组，那里都是有唯一解的情形。到了大学，就该从那里衔接，通过列举其它情形的具体例子展开 “研究”。一上来就讨论 n阶的一般情形，这种做法 “有病”、“无趣” 而 “呆板”。诸如计算各样的行列式，更是 “蛋疼”。这类奇技淫巧会让一些学生产生畏难情绪、引起心理障碍，或者“卡” 在并不重要的事情上。

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或许数学系可以写一部《数学纲领》，写清楚数学本身的一般原理和规律，包括理解和学习数学的方法，并结合各主要门类的 “中心问题” 加以阐发。大学一年级的主要焦点，应当是帮助学生发现数学有意思的地方。所有的老师和学生都围绕《数学纲领》展开探索式学习，目的是选定自己的核心主题。每个门类可提供若干著名的 “元问题” 及相应理论。比如，多项式中的代数基本定理或伽罗瓦理论。大学的其它三年，至少要精通一个完整的理论，学习一篇最新菲奖论文，训练出完备的学习方法。老师们呢？所有的老师都讲一个主题，比如伽罗瓦理论，只有这样才能在彼此之间建立认知。