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[注:下文是群邮件的内容,标题摘自内文。此内容仅为尝试性的思考。]
域的可视化。
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如何用计算机图形化方法表示 Q(√2)?从形式上看,q + p√2 有点像直线方程。也许可以把 q 放到 x 轴上,p 放到 y 轴上,再把 p√2 也放到 y轴上... 这里的困难是:Q(√2)是一个无穷集合。回到直线方程,也许可以用斜率为 √2 的直线表示 Q(√2)?比如,y = kp + q,其中 k = √2。这条直线看作 y 关于 p 的函数,并以 k 和 q 作为参数。k 固定的时候,用参数 q 标识一簇直线。当然,由于p 取有理数,上述直线(在实平面上)是不连续的(待考)。
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按这个观点,验证封闭性只须对 q 取两个值 q1 和 q2。比如 (kp + q1) + (kp + q2) = k(2p) + (q1+q2)。这是两条直线叠加,得到另一条直线 (斜率为 2k,截距为 q1 + q2)。若做减法,则得到截距为 q1 - q2 的水平线,k = 0。这有点怪,但确实是这样。
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接着验证乘法:(kp + q1)(kp + q2) = k^2p^2 + kp(q1 + q2) + q1q2。两条直线相乘,得到抛物线。这样弄得有些复杂了。实际上,验证封闭性只对q 取值也是成问题的。
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总之,域的可视化(或几何化)绝不简单。有没有可能,按照域的 “精神” 构造出一类曲面?比如,曲面上任意两点的坐标按四则运算所得坐标仍然在该曲面上?这样的话,可以将此类曲面称作 “域面”,由此或发展出某种 “域几何学”。
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GMT+8, 2024-3-29 16:15
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