[注：下文是群邮件的内容。花费2个番茄，废掉2个番茄。共两个小时。]

《Galois theory》

H.E. p. 56 (S42)

* * * 12:52

2. Show that a subgroup H of a group G partitions a presentation of G into presentations of H and, in particular, that the number of elements in H divides the number of elements in G.

---- 群 G 的子群 H 分割 G 的表述为 H 的若干表述，并且 H 中元素的个数整除 G 中元素的个数。

.

证明：考虑 G的元素 n = 6 的情形。此时 G 的表述是 6 x 3 的阵列：

a  b  c

b  a  c

c  b  a

a  c  b

b  c  a

c  a  b

..............................................S............T............U....................ST..........................TU

写出大群的置换：G = {e, a <~> b, a <~> c, b <~> c,  a <~> b & a <~> c, a <~>c & b <~> c }，或者写成 G = {e, S, T, U, ST, TU}。

---- 大群的 6 个置换是以第一行作为 “参照排列” 得出的。

.

检查置换群的可交换性

---- ST(abc) = S(cba) = cab

---- TS(abc) = T(bac) = bca

评论：置换群不是可交换群！(之前想当然以为可交换)

.

这帮助解释了为何此群没有四元群。

---- 即 {e, S, T, ST} 不构成群...

---- 因为 TST 跑出去了...

---- 因为 交换律不成立：ST ≠ TS。

.

构造 G 的三元子群

---- H = {e, ST, TS} √

---- ST·ST(abc) = ST(cab) = S(acb) = bca = TS(abc) ==> (ST)^2 = TS

---- TS·TS(abc) = TS(bca) = T(acb) = cab = ST(abc) ==> (TS)^2 = ST

评论：经验证，上述 H 的确构成群。

.

(刚下楼一趟，等电梯的时候想到个主意...)

---- 也许应该用反证法！

.

设 G 的元素个数为 n，它的子群 H 的元素个数为 m。假设 m 不整除 n。则有 q 和 r 使得 n = m·q + r。其中，q 和 r 是正整数，且 r < m。往下必须用到置换群的性质...(搁置)

.

转而考虑另一件事。按本练习，若 n 是素数，则它的子群只能是单位群和它自己，即：(素群) 不存在非平凡的真子群。

.

再构造 G 的三元子群

---- H = {e, ST, STS} ?

---- ST·STS = S·(TS·TS) = S·ST = T 跑出去了。

.

---- H = {e, TST, STS} √

---- TST·STS = ST·TS = e

评论：经验证，上述 H 的确构成群。

.

小结：置换群不可交换；素群不存在非平凡子群；构造了两个三元子群。(注意：上次笔记存在若干错误)。

* * *14:56