[注：下文是群邮件的内容，标题出自内文。]

这会儿想分析一个问题...

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在第六段(参整理版)，提出 v 和 u(=t) 可以用多项式联系：即令 v = ψ(u)，其中 ψ 是 K 上的多项式。u 和 v 都是 H(X, r) 的根，同时 u = t。

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由于 H(X, r) 是 F(X) 在 K' 之上的不可约因式，则 H(X, r) 的根也都是 F(X) 的根，而 F(X) 就是用 t 的 n! 个版本作为根构建的多项式。 这意味着，v 只是 t 的一个置换版。

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考虑一个简单的方程，它有两个根 a 和 b。令 u = t = Aa + Bb。此时与 u 不同的根只有 v = Ab + Ba。问题：如何把 v 表示成 u 的多项式 ?

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Aa + Bb --> Ab + Ba ?

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这似乎是不可能的事情！因为 Aa + Bb 作为变量 u 是一个整体，顶多给它乘以某个系数，或者它自己乘以自己。假如给 u 乘以 B/A，则有 ——

B/A·u = Ba + (B^2/A) b = Ab + Ba + (B^2/A)b - Ab = v + (B^2/A - A) b ==> v = B/A·u -  (B^2/A - A) b。

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上式的确得到 v 关于 u 的多项式，但橙色部分含有根 b，如何保证它不跑出 K ? 如果 b 在 K 里就不成问题了。

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总之， v 能够表达为 u 的多项式只是个假定，它相当于用多项式来实现某个置换的作用。这很惊人，也很有吸引力，但似乎不是无条件的。这个地方肯定是个梗！

注：邮件发出后不久，想明白了！见如下内容 (另一封群邮件)。

哇呀呀，想出来了！橙色部分有个根 b，它可能跑出 K，但是 b =φb(t)，这是之前已经给出的 (cf.伽罗瓦阵列那部分)。特别是，φb(t) 的系数在 K 中。

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这里只须要把 t 换成 u 即可。

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(尽管是这样，此处最好做一个引理，给出明显的证明)。

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又：刚才发出的内容纠正了几处笔误，见订正。