《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

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再逐段温习一遍 (之证明的第六段)。注：下文的黑体不代表向量，只是为了增加视觉效果。

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v  →  v'

↑        ↑

u  →  u'

注：引入ψ，并通过整除关系联通左右两个 “世界”。

---- 左边是 H(X, r) 定义的子群，右边是 H(X, α^i·r) 定义的子群。

---- (子) 群和 (子) 域都可看作 “世界”。见注1。

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第六段要证明：(新群作为旧群的) 子群是正规的。

---- 即单个置换可以把子群的一个表述变换到另一个表述。见注2。

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G(X) = H(X, r)·H(X, α·r)·...·H(X, α^i·r)·...·H(X, α^(p-1)·r)

---- 左边 G(X) 的诸根 t, t', t'', ... 对应方程在 K 之上的伽罗瓦群。

---- 右边每个因式的诸根,   各自对应方程在 K' 之上的伽罗瓦群...

---- 后者 (K'之上) 是前者(K 之上) 的子群。

---- 具体证明只用到群的 “表述” (即伽罗瓦阵列)。

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上述不可约分解把 G(X) 的诸根均分为 p 组，每一组都对应子群的一个表述。

---- 换句话说，每个组可以用对应的不可约因式 H 来指代。

---- 为达成证明 (见蓝色字体)，首先得给出一个跨组的置换。

---- 为此从 H(X, r) 中取出 u(=t)，并从 H(X, α^i·r) 中任取 u' 。

---- 则从 u 到 u' 给定了一个跨组的置换，记作 S。

---- 只须证明 H(X, r) 中任意的 v，经由 S 作用会落入 H(X, α^i·r)，即 u' 所在的组。

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经过以上的准备就进入了 证明的关键部分：

1. v 可由 u 在 K 上的多项式表达，记作 v = ψ(u)。见注3。

2. 由于 v 是 H(X, r) 的根，则 u 是 H(ψ(X), r) 的根。

3. 而 u 也是 H(X, r) 的根，从而 H(X, r) 整除 H(ψ(X), r)。

4. 于是 H(X, α^i·r) 整除 H(ψ(X), α^i·r)。(本原作用保持整除)

5. 由此，前者的根 u' 也是后者的根。

6. 令 v' = ψ(u')，它在 u' 所在的组。(用 “构造” 确保 v' 在 u' 所在的组，这是一种 “手法”)

7. 现在验证 S(v) = v' 即可。

8. 而 S(v) = S(ψ(u)) = ψ(S(u)) = ψ(u') = v'。(此处用到 S 的自同构性质)

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评论：1 和 4 是最厉害的地方。

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注1：任何带有规则的集合，若成员之间按规则相互作用不跑出该集合，即构成 “世界”。

---- 这是近段时间得到的重要领悟，可作为一个 “高观点”。

---- 又，“数学通过映射理解世界” 也可以作为一个 “高观点”。

---- 具有全局性、放之四海而皆准的观点，即为 “高观点”。

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注2：伽罗瓦并没有 “正规子群” 这个观念，而是正规子群恰好出现在他的路径上。

---- 该理论涉及的 (有用处的) 子群可能都是正规的 (?)。

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注3：参见“梗”文。

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小结：证明的第六段温习完毕。