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连续统假设CH的两个证明方向

已有 5643 次阅读 2016-12-22 10:57 |系统分类:论文交流

吕陈君


这些问题的彻底解决,只有在对其中出现的词项(例如集合一一对应等)的意义以及构成它们的使用的基础的公理进行(较之数学习惯于给出的)更深刻的分析之后,才能得到。

——K.Gödel


关于哪些公理应当被接受,在这里,我们必须整个地放弃科学的计划并且返回到差不多是本能的水平,即与人们最初开始思考数学问题时的精神状态多少相似的状态。

——P.J.Cohen

CH在ZFC中不可判定性的结果,人们似乎容易得出这样一种结论:在ZFC的不同模型里,连续统的势2^ω可以等于任何阿列夫ωi(i≥1)。[1]CH也就失去了其本来的数学意义,正如Cohen评论的:“CH,也许我们对不可数集合所能问的第一个有意义的问题,是没有内在的意义的”。[2] 但在那些坚持认为CH是一个有意义的数学问题的人看来,它必定存在一个确定的判定结果,而这个结果就需要去寻求某些更直观、更强有力的新公理才能获得。一般的,沿着这种哲学信念去解决CH问题,就有两个证明方向:

其一,认为ZFC本身没有问题,并在此基础上提出新公理来解决CH。“大基数公理”就是这种思路,即认为存在各种“非常大的”基数,它们都具有某些特殊性质,譬如奇异性、不可达性、不可测性等,并以此来推导出2^ω究竟等于哪个ωi。这是当前集合论研究的主流方向。但我的看法是,在解决CH前,我们不可能确定各种大基数的存在,因为CH是对超穷基数“所能问的第一个有意义的问题”,第一个问题还未解决,就不可能确定其后面的问题。所以,利用“大基数公理”来判定CH,可能方向上就根本错了,它最终陷进了形式主义的泥潭,看不出有任何真实的数学意义。

其二,认为ZFC本身还有问题,需要对其定义和公理作更深入、更严格、更细致的分析。我前面引用的Gödel和Cohen两段格言,反映出这种思想倾向。但在这个方向至今还未做出任何重要的成果,因为大家把ZFC当成是理所当然的“自然系统”而完全接受了。可能只有Gödel沿着这个方向深入地思考过,但在公开发表的论文中,他并未把自己的想法讲清楚,私下里他跟王浩交流很多,所以,王浩后来就稍稍讲得明确一些,譬如,他指出,目前集合论“至少包含四个困难的观点:‘给定’的观点、汇集在一起的观点、‘部分’或子集的观点和层叠的观点”,“我们只有首先确定在哪些一一对应的基础上,哪些对象要被计数(哪些整数集是被允许的),然后才能解决这个问题(注:指CH”。[3] 我认为,王浩只是指出了所有关键性的问题,但他却并未提出任何技术性的方案,实质上也就没有进展。

本文将在第二个方向上来解决CH问题,首先就来重新考察集合论基础,对其定义和公理体系做出更基本、更直观、更深刻的理解。

注释:

[1]P.J.Cohen:“连续统假设的独立性II”,载于张锦文、訚金童主编的《集合论发展史》,广西师范大学出版社(1933),118-121;赫兆宽、杨跃:《集合论——对无穷概念的探索》,复旦大学出版社(2014),206。

[2]P.J.柯恩:“关于集合论基础的评论”,载于中国社会科学院哲学研究所逻辑研究室编译的《数理哲学译文集》,商务印书馆(1988),134。

[3]王浩:“集合概念”,载于保罗·贝纳塞拉夫、希拉里·普特南主编的《数学哲学》,商务印书馆(2003),622、640。




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