十、结论：﹁CH对数学基础的影响

吕陈君

上述定理就意味着：所有的超穷基数（阿列夫）都小于连续统的势，也就是说，在自然数集N和实数集（连续统）R之间还存在着无穷多个其他超穷集合。这符合König定理对连续统的限制，即不等于的基数。其实Cohen早就预测过这种结果：“由构造幂集提供的连续统，不是用以替换公理为基础从较低的基数出发构造较高的基数的任何过程可达到的。这样，将被认为大于，，的基数”。^[29]直观上，﹁CH的数学意义在于：从N出发，不可能逐次递归地构造出R，即R是非构造性的，但对一实数命题A(r)，其非构造性证明（反证法）和构造性证明（数学归纳法）并不完全等价。这说明现有的实数理论仍存在着逻辑缺陷，因为它预设了构造性和非构造性等价。从古希腊人发现无理数以来，如何理解自然数和实数的关系，逻辑地构造实数系，这始终都是数学基础的核心问题。看来，我们还需要重新建立起一种更严谨、更丰富的实数理论。

注释：

[29]P.J.柯恩：“关于集合论基础的评论”，载于中国社会科学院哲学研究所逻辑研究室编译的《数理哲学译文集》，商务印书馆(1988)，p134。