题记：这三段文字分别是1999年在家乡、2004年和2016年底在北京写下的，记录了我研究连续统假设的心路历程。这是我研究经历中三个关键性的时刻，特整理出来以作留念。

一

我没能考上大学，20岁就开始在家乡“游学”了。或许这是我的天性吧，不喜欢强迫着读书，只喜欢自由思考。94年秋，一个偶然的机会，我进了北师大的作家班，可是不久我就对文学感到厌倦了，在作家班里反而使我少年时代的“文学梦”彻底地破灭了，我终于认识到了：文学特别是当代文学，本质上就缺乏一种实质性的力量，它既不能改变作者自己，也不能改变世界。我内心深处渴望能用一种朴素的、简单的方法来理解什么才是真实的东西和真正的意义，后来这就成为我读书的思想基础。听课没什么意思了，我就自己买了一些专业方面的书籍来读，读的最多的是心理学和科学史，哲学方面则喜欢读逻辑实证主义的著作，虽然不太懂，但都坚持读完了，有的还反复读了几遍。93年在家乡时我就读过波普尔的《猜想与反驳》，这是我第一本“啃”完的哲学专著。过了一个学期，我决心不再为一张文凭去读书了，纯粹为读书而读书，纯粹为思想而读书。我就从学校里搬了出来，在圆明园附近租了一间房子，开始了一种独特的读书生活。

北京真是一个读书的天堂，只要你愿意，怎么读书都可以。我通常是泡在北图里面，也经常去“风入松”、三联这些书店里去读些新书，学习和写作通常是在北大的教室里，也偶尔旁听一些课，和他们学生一样早早地去抢占座位，反正谁也不认识我。当然，最重要还是自己买书来读，通常每个礼拜我都要到北京几家大书店里去逛一逛，特别是周末两天，在北大东门胡同里，有一个旧书市场，赶集似的，非常热闹，在这里往往能够买到旧版的好书，我大半的书都是从旧书摊上买来的。久之，我就养成了买书的嗜好和读书的眼界，只要一个礼拜不买几本书、不读些新书，就会觉得像是失掉什么似的。我的藏书也颇为可观，尤其是非常精粹，“斯是陋室，惟吾书馨”，朋友来了没有不羡慕的，连苛刻的房东对我往往也是另眼相看。一位朋友戏称我为“流学生”，这倒是一个很形象的说法。这种“流学”生活我坚持了四年，现在想起来确实是很难熬的，可是居然也熬过来了。一直到现在，在孤独和艰难中我渡过了自己最美好的青春年华，从一个无所知识的少年长成为一个无畏知识的青年。

我读书虽然自由自在，不用考试，但我却始终有一个明确的目标，那就是为了解决一个著名的数学问题：连续统假设（简称CH）。对此我简单地介绍一下。CH是由集合论创始人、数学史上最有想象力的天才人物康托提出来的，用最简单的语言来说，CH就是求证“一条直线上究竟有多少个点”这样一个命题（哥德尔），也可以说是一个最基本的数学问题，它涉及到了对于无穷的本质的理解。在1900年国际数学家大会上，“数学王国的亚历山大”希尔伯特纲领性地提出了23个尚未解决的重大数学问题，就把CH列为第一个问题，因此CH也被称为希尔伯特第一问题，可见它对数学基础的重要意义。我想智慧最大的困境就在于要面对虚无，正像信仰最大的困境是要面对死亡一样，所以只有克服这种虚无才是真正的智慧。对此爱因斯坦曾有一句妙语：“这个世界最不可理解的就是它居然是可以被理解的。”其真正蕴涵在于：真实的东西往往是什么意义的，而有意义的东西往往又是不真实的。当我第一次弄懂康托超穷数概念时，我顿时就被人类思维之中那种奇妙而深刻的创造性所深深震撼了，“顿悟”了，对于连续统假设，也就有了一种直觉的认知，或者说是一种信念，我“看到”了这一无穷之谜的“谜底”及其证明所需的基本结构。但是，如何精确地表达这个直觉思想则是一种巨大的虚无感，我已用了半个青春还是没有完全克服这种虚无。

在“流学”期间，我最基本的功课就是每隔三、四个月就写一篇论文，这是一种残酷的思维训练，每次写完论文以后我都仿佛大病一场似的，然而等到论文整理出来时，就会发现证明中仍有许多问题及模糊之处，于是就一点都不满意了，然后就又去重新查找资料，重新思考证明的细微结构，等到一些完整的思想成熟起来就又重写一篇论文，因为脑子里的思想只有写出来时才是真实可靠的，每次写完论文，我都能感觉到自己朝着最后的目标又实实在在地前进了一步，但却总是达不到终点。已经记不清楚到底写过多少篇论文了，开始时我还把论文寄给一些专家和学刊，但后来我就下定了坚忍之心，若不达到最后的目标就绝不示之于人。我感到自己像是背着一个沉重的十字架，孤独地朝着最后的目标艰难前行，而不达到终点就不能解放自己，所以我除了坚持别无选择。人往往是不能够决定自己的命运的，但是我们却能决定自己的选择，这是一个人最后的自由和尊严。

后来，我的“流学”生活不期而然地结束了，又是一个偶然的机会，我回到了家乡，一直到现在。我的父亲忽然患了脑溢血，在医院里昏迷了四十多天，瘫痪了，祸不单行，由于受了刺激加之劳累过度，本来身体就很虚弱的母亲也病倒了，她是一个残疾人，右臂被机器轧断了，这次心脏功能衰竭以及两肺纤维化，病情反复了好几次，基本上是靠着药物维持着生命。我家境并不太好，为了救治两个病人，我们四处借债，可医药费这个“无底洞”是很难填平的，病情之沉重，人情之淡薄，确实很难很苦，可是再难再苦，你也只能自己咽下去。古人做人做事，都以“孝”为本，我谈不上有这种美德，只是眼见父母如此，老弱病残，不忍也不能离去，然而内心确实是很苦闷的，心中不免常常烦躁愤懑，往往又深深自责。一段时间，精神几乎崩溃，头脑胀痛得要命，里面却又空空如也，对自己这几年的生活和理想逐渐感到怀疑起来，人不免就变得有些猥琐和卑怯，真是天地之大却无处容身，但又无法逃避。一日闲读《曾国藩家书》，见到“好汉打脱牙，和血吞之”的话，不禁大为感慨，是啊，一个人再难再苦，这都是算不得什么的，个人的喜怒哀乐、悲欢离合都是微不足道的，重要的是他这一辈子想做什么和能做什么。由此反省自己，最重要乃是自己的思想，若放弃思想，就丧失了自己的根本，而若坚持思想，也就守住了自己的根本。于是，我下定决心再来重写论文，尽管谁都不相信我，但我不能不相信自己思考的那些东西。有了这个想法，就犹如一道闪电刺破黑暗，使我看清了迷失的道路，我变得沉默、冷静和倔强。像我这样一个始终失败的人，却从不感到无聊和空虚，我是孤独求胜，这是一种以必死的决心来追求必胜的信念。

等父母身体稍好些后，我就悄悄回了农村老家，在舅舅山上的农场里住了下来，这是历史学家吕振羽的故里，现在还有当年他为纪念母亲而修建的一座“留念庭”之遗迹，两根石柱上还能辨认出“念非一日勉尽子道殷殷，留是有年常怀亲恩耿耿”的字句。这块贫瘠而深袤的黄土地收容了我，让我默默耕耘，并真实感觉到自己生存于天地之间，那股浩然之气充溢于心腹之中。《易经•彖传》上说：“地势坤，君子以厚德载物”，又说：“天行健，君子以自强不息”，这才是宇宙的精神。我在山上住了一个多月，居然完全凭着记忆又把论文写出来了……

二

我是从1995年开始钻研CH问题的，当时是从概率归纳逻辑入手的，我发现如果要对不同概率演算系统作出合理解释，就必须要掌握集合论方面的知识。但当我读了一些介绍集合论的书籍后，就完全被无穷本身的奥秘迷住了。我至今还清晰地记得，当我第一次掌握超穷数这个概念时，感到异常震悸，在数学上竟然有如此创造性的能力。那时我的思维正处于活跃期，对新学习到的知识具有一种本能上的敏锐，不久我就对CH作出了一种直觉上的判断，这种直觉是很难用语言来讲清楚的。于是我就试着想把头脑里这种直觉的思想表达出来，逐渐逐渐就完全陷入进去了。我从北师大宿舍里搬出来以后，就在圆明园东门的树村租了一间房子，白天就去北大旁听自习，一边读书，一边写论文，整天都忙这个。现在回想起来，这段时期是我理智上收获最大的时候，我在学术上还有几个美妙的思想，都是在这段时期萌生的，或许我一生要做的事情都在这里面。日子过得简单而又充实。论文反反复复写了许多遍，每次写完就会发现还有很多漏洞，于是又去查阅资料，想清楚了又来重写，忙得不亦乐乎。现在来看当时的所谓“证明”，是非常荒谬的，但要证明的基本定理始终没有太大的变化。也就是说，我抓住了一个证明的方向，但还不清楚如何去具体构造这个证明。这是一个探索阶段，这样的生活我大概过了三年。

后来，这种田园式的学习生活被打断了，一个偶然机会，我回了家乡，正好父母都得了重病，我只得留下来照顾他们，陪他们住院治疗，根本脱不开身。有一年多的时间，完全与外界隔绝了，全部书籍也都留在了北京，我家乡是个小县城，找不到有用的书来读。前途对我来说是黯淡的。在郁闷中，我突然想到把很久没想过的论文再重新推敲一遍，在没有任何资料的情况下，完全凭着记忆写了两稿，还是没有突破……那是一个午后，母亲打完吊针睡觉了，我坐在另一张病床上写论文，突然头脑里灵光一闪，我奇迹般的想到了现在的论文中称之为“超幂集合”的这个概念，并且自然地写下了P^∞(x)这个符号，一下子就让我对整个证明的意义豁然开朗了，我终于清楚地认识到了自己最终要证明的东西究竟是什么。我异常兴奋，一口气就爬到医院后面的山顶上，坐在草地上，望着山下河水奔腾着蜿蜒流向远方，我感觉到大自然所呈现出来的内在结构之美是如此深邃和谐,心里油然升起瑰美庄穆之感。我浑身不停颤栗，但内心却无比澄静。这或许就是马斯洛描述的那种心灵的“高峰体验”。后来我读到海森堡的自传，他谈到自己刚发现量子力学新理论时的感受：

“刚开始，我很惊讶。我感到，透过原子现象的外表，我看到了异常美丽的内部结构，当想到大自然如此慷慨地将珍贵的数学结构展现在我眼前时，我几乎陶醉了。我太兴奋了，以致不能入睡。天刚朦朦亮，我就来到这个岛的南端，以前我一直向往着在这里爬上一块突出于大海之中的岩石。我现在没有任何困难就攀登上去了，并在等待着太阳的升起。”

确实，一个人如果有过这样的“高峰体验”，那就绝不会感到人生空虚的。

弄明白整个证明的意义后，我就可以构造出一个具体的证明了。但我接下来的生活就陷入了要为生存而奔波不停的状态，差不多有四年多的时间我都在为生存而忙碌，我只能零零碎碎地思考，根本不可能投入到论文的写作中去。也尝试着写过几次，但都被现实打断了，我无法再过以前那种田园般的生活了。我所做的事和我所想的事是分离的，这是一件痛苦的事情。我感到困惑苦闷，有时甚至有些绝望，怀疑自己到底能不能最终解决这个问题，这么做到底有没有意义。人首先得生存，然后才能思想，我就经常处在这种矛盾的心情当中。罗素好像也这样说过，纯粹为生存而忙碌奔波是件痛苦的事，这种生活是没有意义的。直到2004年，我攒了些钱，才下定决心，停下一切工作，花了半年时间把论文写了出来。我的学术研究可以说是在完全孤独的状态下进行的。

三

如果从1995年正式开始研究连续统假设，那到我2016年底完成最终的论文，整整就是21年的时间。2004年，我写出原始论文后，也投了一些稿，但都没有回音，我也只能把论文压在箱底，毕竟我首要问题是面对生活，而不是兴趣。直到2010年，我在网上认识了S，才又引发了我的研究兴趣。

S是一位工程师，他提出了一个很有意思的问题，就是论证了实数可数，这显然是违背数学常识的。S在辩论中说服了H教授，让H对这个问题也产生了极大的兴趣，H是搞计算机的，但退休以后，完全被无穷问题给迷住了，结果他写了一本很厚的专著《统一无穷理论》，从计算机编码这个角度，详细论证了实数可数问题，并在科学出版社出版了，不料引起了数学界的较大争议，认为他的理论是“胡扯”、“反智的”，批评他是一个“伪数学家”，当时H承受了很大压力，但也激发了他的斗志。其实H是一个很纯粹的学者，当完全被一个学术问题迷住时，都是这个样子。

在H的积极联络下，我们三人在香山组织了一个小型的无穷问题讨论会，后来我也参加了几次H组织的学术会议，算是混进了学术圈里，本来我完全是一个局外人，这一点我非常感谢H。重要的是，我的研究兴趣又被重新激发出来了。有两件事件是关键性的。

第一件事情，我把原始论文投给了一家逻辑学的专业刊物，没想到居然被接受审稿了，大概有一年的时间，审稿结果出来了，认为我的基本定义还有歧义。现在来看，这个审稿意见是正确的，因为我当时只是从形式上做出了一个证明结构，但对一些基本定义的理解还有很大歧义，我也没法说明自己证明的结果究竟有何数学意义，一些关键性的概念确实还是不清楚的。这刺激了我重新去思考证明中的基本定义。

第二件事情，我参加了H组织的小圈子讨论。争论的焦点是实数可数问题。我也先后给出了五、六个证明，然后在圈子里大家讨论，挑毛病。数学辩论是很残酷的，一个很小的漏洞就会推翻你整个证明，但这种残酷的辩论对澄清你的思考是大有帮助的。我特别感谢的是Z院士，他指出了我一个专业上的错误，我立即就明白了，还有一位不知名的网友SS，他也具体地指出了我的一个错误，这些批评意见对我搞清楚基本概念帮助极大。科学上的专业批评，这是非常宝贵的，因为自己在某个研究方向上往往容易形成惯性思维，就很难发现自己的错误。我在圈子里和网上跟大家辩论了将近3年，不仅搞清楚了实数可数问题的实质，而且最终搞清楚了解决连续统假设所有的基本概念问题。这个过程，也是一点一点积累起来的，要是没有这些残酷的辩论，我可能不会最终解决连续统假设，搞清楚它的真实数学意义。

在辩论过程中，我形成了对数学的一种经验主义认识，这算是在科学思想上的一个很大收获。在我看来，基础数学研究跟到南极这样无人的荒原上去探险是类似的，经典数学家也是到了无人区后，发现了一些新东西，然后就把这些新东西标记下来，这就是那些基本数学定理，这些基本数学定理联系起来后就绘成了一幅地图，这就是经典数学理论。我自己也在无穷的荒原上独自探索20年了，虽然我的装备不好，非常原始，但我一步一步、缓慢艰难地摸索了整个区域，看到了前人留下来的标记，也发现了前人没有看到的新东西，逐渐的，我对教科书上的内容就变得很容易理解了，在辩论中，我也能很快地指出对手的问题出在哪里。很多人，包括很多专家，其实对教科书的内容并没有真正搞懂，我用一个浅显的比喻就能说明这个道理：这些人，其实并未真正到过南极，他们只是看过南极地图，所以，他们并不理解真正的南极是什么概念；我虽然没看过多少南极的专业地图，但我在南极真实的地理环境里摸爬滚打20年，我对南极反而是有深刻理解的，这些直观的认识，是在地图上找不到的，这完全是一种经验的认知。数学并不神秘，它也是从一些基本的直观经验中发展起来的，没有这种直观的经验认知，就永远也不会领悟到真实的数学之美。数学绝不是什么殿堂，而是无垠的荒原，正如康托所言：“数学的本质恰恰在于它的自由性。”

在搞清楚全部的基本概念后，我再来重新推导论文就水到渠成了。我本来计划用半年时间来写完论文，但没想到一个多月就完成了，期间还去杭州美美地住了一礼拜。原来证明中的几个疑点完全弄清楚了，大体上就没有障碍了，余下的事情就是临机发挥了，这是一个不确定性的、创造性的过程，跟艺术家的创作过程相似。幸运的是，在写作过程中，我出乎意料地想到了两个关键性的概念，一个辖域，一个是同构函数，彻底地、也是神来之笔地推导出了结论，整个推理之链算是严密合缝了。当你没完全想明白时，创作是一个痛苦难受的过程，但当你完全掌握了要领，创作就是一个不断产生惊奇和喜悦的过程。这是一种美妙的体验，哪怕你经历再多痛苦，只要最后你能享受到这种体验，也是值得的。但现在回想我研究连续统假设的经历，我并不主张大家去追求这种体验，要是有来生，我也不愿再过这种经历，我本来只是一个少年诗人，却把自己的大半生消耗在数学定理的证明上，完全出乎我的本意，也完全是没有理由的，从我内心来说，我几乎是绝望的，因为我做的就是一件几乎不可能的事情。但我必须去做。因为，我们最终必须服从命运，而命运是不可知的。你相信命运，命运就带着你走；你不相信命运，命运就拖着你走。命运是必然的。即使你不愿意，你也必须跟着自己的内心去走，你别无选择。快到终点时，我要放弃同命运抗争，并感谢所有的人。“黑夜给了我黑色的眼睛，我却用它寻找光明”。

爱因斯坦回忆自己创建广义相对论时，也曾这样说过：“在黑暗中焦急地探索着的年代里，怀着热烈的想望，时而充满自信，时而精疲力尽，而最后终于看到了光明——所有这些，只有亲身经历过的人才能体会 。”这位伟大的天才说的只是他个人的体验。但在我们这个年代，所有人都在黑暗中焦急地探索着，但能否最终看到光明，这仍是不确定性的。因为，走出教科书，所有的知识都变得不确定了，但要是你不走出教科书，你也无法发现新的知识。科学创新的难题在于，你说自己发现了新的知识，那怎么来认可这些“事实”呢？因为，谁都没见过这些新东西。经典的、权威的体系是会反对这些新思想的，惯性思维也会否定这些新思想，而且，创新的风险巨大，新思想绝大多数也将是错漏的。康托提出集合论时，也不被主流数学家承认，这让他晚年精神变得有些失常，以至于后人评论说：新思想要被承认，必须等老一辈人都去世后，新一代人都成长起来了，人们的观念才会改变过来。从某种意义上讲，自由的发表、交流和辩论，是科学创新的源泉，要是没有这种机制，新思想就很难出头，人们习惯于在经典的、权威的确定性世界里生活，而创新永远是一些“冒险家”所为，他们绝大多数人都会死在路上，只有极少数人才会建立起一块新的领地，一种新的世界观。只有出于对未知世界纯粹的好奇心和宗教般的热忱，人们才会愿意去冒险探索不确定性的未来。我深信，任何创新和探索本质上都是绝望的，但只有在绝望中看到光明，才是生命的根本意义之所在。人注定去死，但又当下活着，这就是最大的悖论。要么庸碌地活下去，要么选择一种信仰之生活，没有信仰，向死而生就注定是荒谬的。

   但这也没有什么好抱怨的，人们不理解新思想，这是很正常的，不能指望每个创新者都像爱因斯坦那么幸运。正规渠道的严格审稿也是完全必要的，但更重要的是要有大量非正规的自由发表、交流和辩论之渠道，这些自由渠道才是思想创新的肥沃土地，仅靠少数几个正规渠道，思想创新和知识创新的奔涌源泉必将最终堵死枯涸。这才是当前我们面临的最紧要的事情。