从（1-2-3）到（2-3-4）我们能发现什么

 介绍植被趋势分析

让我们假定有一块火烧迹地，比如美国黄石公园，植被从火灾后恢复。头一年，1994，采集的数据是1，2，3；第二年，1995，采集的数据是2，3，4。假定这些数据分别表示：树、灌木、草的多度。
以上数据可以表示如下表1）： 

植被数据从1994年的1-2-3变到95年的2-3-4，告诉了我们什么？
1).首先，我们都看到植被有变化。

2). 其次，多数人认为植被在增加，而且不同植物的增率不同，可以看作是植被的时间动态。

3). 有人将数据分析，发现不同的植物有不同的增率，分种表示如下：
树增 2/1=200%,
灌增 3/2=150%, 而
草增 4/3=133%,
三者平均增 9/6=150%.

结果展示如下表3）：  

4A). 当然，多数人未必同意‘草是在相对下降’的观点，由于看起来三者都在增加。为了发现每个物种变化实质，我们用总增调整分种增率，并定名为95年的分种多元即时趋势，简称趋势值，用T表示。由于总增率是9/6=150%，在用总增调整后，分种趋势值分别是：
T(树)=200%/150%=1.33,
T(灌)=150%/150%=1.0, 和
T(草)=133%/150%=0.89。

以上分析显示如下表4A):

这里，趋势值是用总增调整后的分种增率。

趋势值也可以从另一方法计算得到
4B)：计算1994年的分种百分比(分别用总和去除)：
树₉₄：1/6=17%,
灌₉₄：2/6=33%,
草₉₄：3/6=50%.

同样计算95年的分种百分比是：
树₉₅：2/9=22%,
灌₉₅：3/9=33%,
草₉₅：4/9=44%.

趋势值是相应的95年的份额除94年对应的份额：
T(树)=22/17=1.33
T(灌)=33/33=1.00,
T(草)=44/50=0.89.

上述趋势分析用下表4B).显示：

  在这里，百分比（%）是物种除总和，趋势是后前相应百分比的商。

5).我们根据趋势值把物种排序：
树 1.33
灌 1.00
草 0.89

结论：根据趋势值，植被中的树在增，因为趋势值大于一；草在降，因为趋势值小于一。

6). 离开趋势的概念，很难使人信服十年后，草将消退，而树将恢复成为建群种。
1.33^10=17
0.89^10=0.31.

以上趋势分析可以用下表显示   

7). 结论：
我们定义调整后的增率为物种的变化趋势：

T_(i,k)=[X_(i,k)/X_(i,k-1)] ：[ΣX_(k)/ΣX_(k-1)]，其中，我们用ΣX表示和，下标i表示物种，k表示时间。

趋势也是后前相对份额的比。
T_(i,k)=X'_(i,k)/[X'_(i,k-1)]，

其中，X’ 是相对多度，以百分比表示:
X'_(i)=X_(i)/{Σ[X_(i)]}.
通过趋势分析，我们发现树的增率最高，灌木稳定，但草在下降。进一步，我们可以根据已知数据，做一个预测：植被将在十年内演变成树林，而取代现在的草本为主的植被。

8). 讨论：

在时间动态分析中，我们假定植被的变化可以通过现在和过去的比较来发现。同时，我们假设植物是环境的函数，而环境是可以通过植被组成来表示的。第三，植被分析中，每种植物都可能携带植被演替、环境变化的重要信息，所以每一个植物种都不可放弃，也即，不提倡使用‘消元法’。

9).进一步探讨
把以上在一维的讨论进一步扩展到二维空间。
请回顾历史上两个大数学家，中国的商高和希腊的毕德哥拉斯。他们分别发现在二维空间，向量长度和分量之间的关系：
3²+4²=5².
换句话说，在二维空间
3+4=5， 而不是7。
当“和”被解释成“向量长度”，则“百分比”被解释为向量和坐标轴夹角的“余弦值”：
3/5=0.6, 和 4/5=0.8.
两个余弦值决定了向量的方向。当余弦值变化，向量将在空间偏转。反之亦然。

以上讨论可以扩展到更多维空间。
向量长度是所有分量的平房和的算数根：
L[x]=√[Σx_(i)²].
在开头的例子中94年的植被向量（1，2，3）的长度是√(1+4+9)=3.74，而95向量（2，3，4）的长度是√(4+9+16)=5.39

我们可以用3.74和5.39分别取代6和9，把以上的讨论重新来一遍。这次我们是在三维空间展开讨论。树，灌，草分别是空间的三根坐标轴。我们可以想象，植被状态向量在三维空间，从1994年的（1/3.74， 2/3.74， 3/3.74）偏转到1995年的(2/5.39， 3/5.39， 4/5.39)。
以上讨论使我们发现了一个新的分析植被变化的数学工具，超球面模型(Multi-Dimensional Sphere Model, MDSM)。

在多维空间使用‘向量和’代替‘标量和’，植被的变化可以表达为向量在空间的旋转。人们可以通过检测向量在空间的旋转、向量在超球面上投影的移动来监测植被的变化。

10）展望：
如果人们想根据已知数据推测1996年的植被状态，该如何做？
人们可以用趋势来推测（当年的期望和趋势的乘积）次年的植被： P_(k+1)=E_(k)*T_(k)

而期望是推测和实测的加权平均:
E=(P+D)/2,
预测误差定义为
R=E-P.
这里， E, P, D, R 是多元向量，分别表示期望，推测，实测和预测误差。

在开头的例子中，假定1995 的实测值和期望值都是(2， 3， 4)，而趋势值是(1.33， 1， 0.89)，因此1996年的推测是P₉₆=(2， 3， 4) *(1.33， 1， 0.89) =(2.66， 3， 3.56)。
如果1996年的实测数据是D₉₆=(3， 4， 5)，
则期望是E₉₆=(P+D)/2=[(2.66， 3， 3.56) +(3， 4， 5) ]/2=(2.83， 3.5， 4.28），
预测误差是R=(2.83， 3.5， 4.28） -(2.66， 3， 3.56) =(0.17， 0.5， 0.72)
它小于两年实测数据的差D₉₆-D₉₅=（3，4，5）-（2，3，4）=(1， 1， 1)。
表明以上预测有效。

以上分析结果显示如下表：  

白图格吉扎布

多维球面模型通讯2-12：《从1-2-3到2-3-4能告诉我们什么》，摘译自《趋势分析及其在生态股市中的应用》186-194页。原文是英文，发表于1995年12月，先后刊登在MDSM，SinoEco和一个地方网站。“通讯”以一组火灾迹地植被恢复的虚拟数据，阐述多维球面模型应用于植被演替分析，从一维到多维的推导过程。

除以‘标量和’，得到百分比，是在一维空间，R，实数的集合讨论问题。
除以‘向量和’，得到余弦、在超球面上的投影、重要值，是在多维空间，R^m，里讨论问题。
“标准化”把研究范围从‘标量’扩展到‘多元向量’，从一根‘数轴’扩展到‘多维空间’。
希望这个短文能帮助大家更好地理解系统监测，趋势分析，向量代数。

这是我到《科学网》的第一篇博文。日期是2009/10/29。

3/28/2019 修改转发。