一  绝对零度时费米气体的熵不是绝对的零

老师提问：绝对零度时，近独立费米子气体的能量是否为零? 熵是否为零?

参考答案：平均每个粒子的能量为0.6倍的费米能，故近独立费米子气体的能量非零；绝对零度时，没有热运动，熵为零。

学生质疑：费米面上的能量是高度简并的。如果这个面上只有一个量子态被占据，则系统至少还有等同于简并数的微观状态数。所以，熵不能为零。

这是年度最佳课堂提问，在同学们中有激烈的讨论。学生自己能小步快跑、快速迭代。即使没有老师，学生也可以互教而成长！提出该问题的同学，平时成绩计满分！

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背景材料(取自林宗涵第三版p.173)

态密度和能量的1/2次方成正比，也就是当能级很高的时候，简并度急剧增加。

（注：这个解法排除了能量为零的本征态，基态的能量具有简并度为8。排除能量为零的本征态的一个理由是，能量为零的态不满足测不准关系，应该排除。我们采用这种做法，但未必认可这个做法的说法）

二 理论的真实：绝对零度时费米气体的熵不会是绝对的零

泡利不相容原理元素周期表的基础，电子在填充轨道时，严格按能量最低原理进行填充。在费米面内内部，每个的格点都已经填充。如果这个时候有一个费米子等待填充，只能填到费米面上，而费米面上会有能量相同的有很多态，设为W,这个时候，熵为S=klnW。因此，在统计力学意义下，绝对零度下自由费米气体的熵非零，完全可能是kln2或者kln1000.由于这个熵不与粒子数成正比，不是热力学意义下的熵.

这个解法的基础是，存在严格可数的微观状态的个数，也存在完全确定的粒子数。这是当前很多研究的基础，例如一个二进位信息存储时或者提取时，熵的变化为DS=kln2.

三 物理的真实：绝对零度时费米气体的熵是相对的零

物理学中，无法完全确定微观状态的个数，也无法完全确定粒子的个数。先不看粒子的个数无法确定，只看费米面内微观状态的个数,就非常的不明确！参看R. K. Pathria，Paul D. Beale，Statistical Mechanics (Third Edition) p.12-13。

注意上文中(15)和(16)式正比于能量的部分，正好是费米面上的量子态，这部分的数量在热力学极限下，贡献为零。也就是费米面上的微观状态数，在热力学极限下，对热力学量的贡献为零．因此，在热力学意义下，绝对零度下自由费米气体的熵为零．在热力学意义下，费米子填充到费米球内部的正确方式，不是一个一个填充的，而是一群一群填充的，当铺到费米面上时，一次性铺满全部能级.

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