笔记1中谈到1维的连续空间，就是一根可以套着顺滑移动的微套管的橡皮筋。

反过来可以这么理解：【理解1】

微套管可以理解为就是1个点：1个可流动的点状骨架；

橡皮筋可以理解为是1个线段：一个有边界（起点、终点）的一维拓扑空间；

顺滑移动可以理解为是点可以顺着橡皮筋轨道来回连续流动；

这就要求轨道要闭合，可以理解为是一维拓扑空间的边界要对接在同一个点状骨架上；

橡皮筋就变成了橡皮圈，和圆圈拓扑等价，就叫拓扑圆圈；

其形状就等价为1个点状骨架顺着1个连续的1维拓扑空间来回流动形成的形状。

这个拓扑圆圈的形状就是1个1维的流形的例子。

在【理解1】基础上，得到【理解2】如下：

假设有2条1维的拓扑空间（橡皮筋），连接到同1个可流动的点状骨架上的话；

得到的就是在1个橡胶点处相连的两个橡皮圈的形状；

骨架点仍然可以在两个相交的拓扑圆圈上来回连续流动，并可在交点处切换拓扑圆圈流动。

这个相交拓扑圆圈的形状，仍然是1维流形的1个例子。

【理解3】如下：

在【理解2】基础上也可以假设多条橡皮筋在多个骨架点上连接，变成橡皮筋网的形状；

得到的形状，就是拓扑图的形状，仍然是1维流形的例子。

可见，1维的流形，就是以点为骨架的流形。

如何能得到2维、3维、多维的流形呢？

【理解4】如下：

要得到2维的流形，必须用1维的流形为骨架，比如以1个拓扑圆圈为骨架；

然后，必须用2维的拓扑空间，比如1块橡皮膜，要把膜的边界拉扯连接到拓扑圆圈上；

得到的就是拓扑等价为圆盘的橡皮膜，就叫拓扑圆盘。

这样，作为骨架的拓扑圆圈，就可以象一个1环的水波，在膜上收缩或扩大，来回“流动”。

最小缩小到圆心点，最大可扩大到边界圆。

这个拓扑圆盘，就是一个2维的流形的例子。

【理解5】如下：

在【理解4】中，假若是用2块橡皮膜，要把膜的边界同时拉到连接到拓扑圆圈上；

即用两块膜以同1个拓扑圆圈为骨架蒙起来了，像个密封的气球，得到的是个拓扑球面；

这样，作为骨架的拓扑圆圈同样可以在拓扑球面上收缩或扩大来回“流动”；

这个拓扑球面，同样是一个2维的流形的例子。

【理解6】如下：

在【理解4】中，假若是以【理解2 】中得到的两个相交拓扑圆圈作为1维流形的骨架；

然后用1块橡皮膜，先把膜拉成长方形；

先把长方形膜的一组对边，以骨架中1个拓扑圆圈为对接边蒙起来了；

再以长方形膜的另一组对边，以骨架中另1个拓扑圆圈为对接边蒙起来了；

这样，就得到了一个拓扑圆环面；

这样，作为骨架的两个相交的拓扑圆圈同样可以在拓扑圆环面上来回“流动”；

这个拓扑环面，同样是一个2维的流形的例子。

归纳以上理解，并拓展，【结论理解】

n维的流形，就是用n维的拓扑空间，蒙在n-1维流形骨架上得到的形状。

再用这个结论理解反过来印证一下之前的理解：

1维的流形，就是用1维的拓扑空间，蒙在0维流形骨架上得到的形状。

对照之前【理解1】：“以“点”为骨架的拓扑圆圈是一个1维流形”。

拓扑圆圈是1维的拓扑空间，印证正确，同时可领悟到：

1. “点”是一个0维的流形。

2. “蒙”的意思就是：将拓扑空间拓展开，使其边界恰好对接在给定的骨架上。

3. 既然如此，不如将“被蒙”的拓扑空间，理解为就是一张广义的“蒙皮”。

*这里引出了一个非常有意思的问题：“点”，是不是以-1维的流形为骨架的流形呢？。

对照之前【理解2】：“以1个“点”为骨架的2个拓扑圆圈也是一个1维流形”。

拓扑圆圈是1维的拓扑空间，印证正确，同时可领悟到：

骨架的个数和蒙皮的个数可以各不相同，但“用n维的蒙皮就得到n维的流形”个是不变的。

2维的流形，就是用2维的拓扑空间，蒙在1维流形骨架上得到的形状。

对照之前【理解4】：拓扑圆盘是一个2维流形。

是以2维的拓扑圆盘为蒙皮，蒙在一个1维流形：拓扑圆圈上的形状。印证正确。

对照之前【理解5】【理解6】：拓扑球面，拓扑环面都是2维流形。

是以2维的拓扑圆盘为蒙皮，只是骨架数量和蒙皮数量不同，印证正确。

根据结论理解演绎一个3维流形的例子：

3维的流形，就是用3维的拓扑空间，蒙在2维流形骨架上得到的形状。

三维的拓扑空间是橡皮块。

找个二维的流形：拓扑圆盘为骨架；

不管橡皮块是什么体积形状，总是可以被揉成了球体状，那么，从球体表面任一点沿直径扫描（流动）过去，得到的截面是个圆盘，圆盘当然是拓扑圆盘。

橡皮块与球体拓扑等价，就叫拓扑球体。

所以，

球体就是一个以拓扑球体为拓扑空间，以拓扑圆盘为骨架的三维流形。

正方体是以拓扑球体为拓扑空间，以正方形为骨架的三维流形。正方形和圆盘拓扑等价。

演绎正确。