今天听了老顾的第二节网课：基本群概念。算是正式进入了理论学习。

第一个引起我理解障碍的描述，出现在老顾的教材P17页：

三维的洞，是因为曲面”嵌入”三维欧氐空间中产生的吗？换言之，就是问：“洞”是曲面与三维空间的相对关系，还是曲面自身内蕴的特性？

三维欧氏空间中画上一个曲面，如果曲面有闭合包围的圈，就会使三维空间出现孔洞。

"嵌入"，按自然语言理解是镶嵌在其中的意思，在这里怎么理解呢？是上面的意思么？有没有专门的数学含义所指呢？

因为对“换言之”里的“相对关系”和“内蕴”的确切含义也把握不准，所以，还得看能不能再换一种能理解的说法。

自己根据能自己能找到的“理解”，再换言之一下：

按正常理解，曲面是三维空间中的一群分布点的选择。是三维空间中的这些分布点组成了曲面。

是不是说，决定由哪些点构成曲面时，是不是真需要建立一个三维空间坐标系呢？

真需要，就是嵌入，不需要就是内蕴？

曲面自己就“知道”自己由哪些点组成，不须要额外的一个三维的相对坐标来帮助决定？

曲面在三维上围出一个“洞”，是可以通过曲面上自身的信息就能推断出来，而不用跳出曲面来观察的么？

要跳出曲面观察才知道曲面围出了洞，就是嵌入，不用脱离曲面就能推断，就是内蕴。

这么理解符合原意么？这和理解“基本群”概念有什么关系？

继续寻求理解：

在低维空间上，通过变换运动轨迹，就可感知其在高维空间上的性质。

比如，在一个曲面上经过1个固定点，可以画任意多的闭合曲线；可以想象，一只蚂蚁从该点出发，沿任意画出的闭合曲线上运动，回到该点，每走一圈，除固定点外，向左偏移一点再走一圈，最后，会出现什么情况？

某一个圈，可能会出现情况只有两种可能：

1. 最后会偏移收缩到这个固定点；

2. 不会收缩到这个点，总会是个圈。

  假设蚂蚁把所有可能的圈，都这么走一遍，那么，所有可能的圈走完，最终可能出现的情况可能是：

1. 所有可能的圈，最终都可以缩为一点。

2. 存在1个或多个，相互并不能替代的圈，不能缩为1点，而只是在这1点相交。

   
   

   假设出现的是情况1，那么曲面类似1个球面，没有洞。

   假设出现的是情况2，那么曲面是有洞的。

   把所有相互不能替代的圈集合起来，用这个集合里的圈，再反过来让蚂蚁围绕相交点，任意进行偏移走圈，蚂蚁就能走遍整个曲面。

   这说明，情况2中的几个圈的集合及其相互的相交关系，就反映了曲面的最基本的，可保持不变的性质。

这个圈的集合，圈通过交点可进行对接的操作，就是曲面的“基本群”。

那些蚂蚁经过一个固定点最初的圈，经任意扫描平移偏移可走出来的圈，就是同伦圈。

同伦的意思，代数地说，应该是在连续的多元函数中，将某一个变量元在可变的范围内任意变化（扫描），会得到一个函数簇；这一簇函数拥有共同的“父函数”。所以说，这一簇函数是同伦的。

在解析几何中，函数就是曲线，是几元函数就是几+1维空间内的“曲线”，曲线扫描，就会得到曲面。

所以，通过分析一个曲面，最终可以由哪些基本的圈，通过哪些交点约束，动态扫描来覆盖。这个基本圈的集合，就能反映曲面可以维持不变的性质。

不同的几何空间，只是它们解析出来的基本圈和扫描的方式不同。解析出来的基本圈和扫描的方式不同，得到的几何空间也就不同。

基本圈和扫描的方式，就是基本群的概念。