讨论的背景：

    我在多篇文章中用不同的方法证明了任意两个有理数之间都有无限个无理数，即有理数是单独存在的，而无理数是“成片”存在的。故戴德金用有理数的分割来定义唯一的实数是错误的。

    最近与一个网友HRG(黄汝广)讨论此事，在讨论中，我又想到了一个可以更直观地论证该问题的思路（见本文的划线部分）。

他给出了一个任意两个无理数之间必有有理数的简单证明：

    证明开始于以下设定：

    设a,b是两个无理数且b>a, 写成小数形式b=.b₁b₂b₃.; a=.a₁a₂a₃…

    分别比较a₁与b₁;a₂与b₂,,,,,直到b_n>a_n ... 最后证明了在b与a之间可以插入无数个有理数。

    所以他认为我的观点是不对的。

    我的回答是：

    证明中的n是有限位，因此这两个无理数之间的距离是很“遥远”的有限值，这时当然有可能插进有理数。但如果两个无理数之间的距离是无限小，则这两个无理数的各有限位都必然相同（否则两者距离就是有限值而不是无限小了），但这两个数又不相同，故不同的只能是无限位，即n→无限，这时，即使能插进其他数，也只能插进无理数，而不可能插进有理数，这是因为，有理数是无限循环小数，不可能与两边的无限不循环的无理数的每一有限位都相同。

    既然两个相距无限小的无理数之间插不进有理数，那么无理数就不是单独存在的，所以用戴德金的有理分割定义唯一的实数是不成立的。

    以下是进一步的讨论：

    黄：你引入无限小那就是非标准分析。

    我：无限小的概念在标准分析中也是必不可少的。例如，极限定义里的ε、不定式等到处都有无限小的存在。如果数间距等于零，即x₁=x₂=x₃=…这时所有的实数会变成一个点，实数轴当然也不存在了，因此会导致矛盾。如果数间距等于有限小，那实数集就不一定是无限集了。因此数间距只能是无限小。

    黄：根据量子理论，小于普朗克常数是没有意义的，以此为单位，只存在自然数，连续只是幻象，而无理数是连续幻象的产物

    我：普朗克常数h(6.63 ×10^-34JS)是与能量子有关的常数，其他地方（例如质量、长度等）不能用h来描述，但是任何一个实际问题，其实都是有一个最小量的，而引入无限小，其实就是你想怎么小都可以，随便！这样就保证了数学的普遍性。当然，这是我的理解。

    至于实数是否具有连续性，要看怎样定义连续性这一概念。我的看法是：间距既然是无限小而不是零，那么实数之间就有空隙，就不应将其看作连续的。我将这种非连续性称为L-离散。当然，如果有人一定要把有空隙的实数轴定义为连续的，也未尝不可，但显然这种连续性并不是人们的常识所理解的那种连续性，这种定义是否恰当？是否有意义？恐怕都有问题。

    尽管实数不是连续的，但如果正好碰到空隙，我们可以随时调整数间距使得该空隙变成一个实数点，因此，在实际使用中，与连续并没有区别，我将这种现象称为“准连续”。

    还有，所谓的稠密性，是指在相距有限小的两个数之间，总可以插入其他数，但是在相距无限小的两个数之间，是不是可以插入其他数，就不一定了，比如说上面已经说了，至少在相距无限小的两个无理数之间是不可能插入有理数的。

    不恰当地使用稠密性概念，也是包括戴德金的错误在内的很多错误的根源。

    黄：引入最小量后，根本沒有无理数。在相距无限小的有理数之间也插不进无理数，除非你定义无理数间隔的无限小是比有理数间隔的无限小更高阶的无限小。

    我：引入最小量后，确实数间隔不再是无限小而是有限小，有的学者将其称为粒度，这对于解决实际问题有重要意义：采用较大的粒度，可以大大提高计算速度并降低对计算机内存的要求。例如，有人将可见光波长仅分为“红黄蓝”三个粒度，计算速度就极大地提高了。但这是一个工程问题。从数学角度来说，为了保证其普适性，我们总希望它是精确的，即使做不到绝对精确，也至少要做到能无限接近于精确。这样，只有无限小的间距才能满足该要求。

    定义不过是对客观或主观存在的事物的一种称呼，因此不存在的事物是定义不出来的。不能过于随意地定义任何东西。这点我与林益先生的观点相同：数学并不如康托所认为的那样“自由”。

    “更高阶的无限小”不需要定义也定义不出来，但却是可以证明的，这个证明是我的观点的关键所在：

    有理数都是精确的，与小数位数无关，因此任意指定的两个有理数，哪怕距离再小，其距离d也与小数位数无关，而无理数的间距是随小数位数n→∞而→0的，即可以任意小，因此总可以比d小得多。

    根据有理数的稠密性，有理数的间距是可以任意小的，因此是一个无穷小量，但是根据上面的证明，无理数的间距还要小得多，所以是高阶无穷小量。

    无理数之间的距离都是无限小，有限个无限小相加仍然是无限小，无数个无限小相加才可能达到d，所以任意两个有理数之间都有无数个无理数。

    黄：那你就是说无理数都不是精确的喽？

    我：所有实际上使用的无理数都是近似的。精确值只存在于定义中。而且能够定义的无理数也极少。

    近似的无理数只能用潜无限来研究，精确值虽然可以定义，但实际上只能无限接近而达不到。

    有理数是精确的整数之比，用有限方式就可确定，实际上不需要无限概念。

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与其他网友的一些讨论：

     对任意自然数n，1/n当然是有理数，1/10^n也是有理数。但n→∞时，无穷小1/10^n可表示为0.000...0001，这里，中间的省略号表示无限个零。显然，n越大，则“1”越往后移，n趋于无限后，1就应该无限往后，这时后面如果还有0，说明n还不够大，与n趋于无限矛盾，而如果没有0，则0.000...0001显然是无限小数且不循环，因此是无理数。

    当然，这也是我的一家之言，不一定对。即使对，可能也不一定会很快被人们接受。

    有一个网友认为，0.000...0001是一个有限小数，因为无限小数不应该有最后一位。

    我的看法是，既然中间的省略号表示无限个零，那么0.000...0001就不可能是有限小数，而只能是无限小数了，只是把表示“无限”的省略号从后面移到中间而已。

    这种表示其实一点不奇怪，例如，1-0.99999…= 0.000…001，无限小量0.000…001就是这样表述的，其极限为零。在无限可以完成的假设下，极限0当然也可以达到，即0.000…001=0，若无限不可以完成，极限0当然也不可以达到，即0.000…001>0.

    至于什么时候应该用实无限观，什么时候应该用潜无限观，这恐怕不是一个简单的站队问题，而是应该视情况而定的。

    从逻辑的角度来说，无限是没有终点的，否则就不能称之为无限而只能称之为有限了。因此所谓有终点即可完成的无限客观上是不存在的。真实的无限是永远也完成不了的。换言之，潜无限是对无限的一种真实描述，而实无限不过是一种想象：如果无限完成了会怎么样？由于实际上无限不能完成，所以我们不一定知道无限究竟会导致怎样的结果。这时候，必要的想象是可以的。因此，完成了的无限即实无限只是一种停留在人们脑海中的主观存在。然而，想象毕竟只是想象，其可靠性是存疑的。这一点要时刻保持警惕。只有在十分确定的情况下，我们才能根据想象得到可靠的结果，例如，在大多数情况下，极限只有在无限完成后才能达到，因此通常也只是一种想象。但只要极限存在，我们是可以知道它的确切值的。这是因为，从根本上来说，求极限是一种试错法：我们实际上是先猜想出一个极限值，然后才能证明它就是极限。如果猜错了，当然可以重猜，所以最后总能得到可靠的结果，即在这种情况下可以辨别所想象的结果是否可靠（对于别人已经用试错法求得的极限，我们当然不用再试错，而是直接或间接地采用他人的结果，所以一般人不一定会经历这个试错过程）。然而，这并不意味着所有的想象都一定是可靠的，也不意味着现实和想象是没有距离的。例如，我们不能认为极限是一定可以达到的。比如，如果无限小量的极限出现在分母上，就绝对不能把无限小量当作零。

    不能把无限小量当作零的情况有很多。例如，如果在单位长度的实数轴上有n个实数，其数间距就是1/n，n趋于无限时无限小量1/∞就不能看作是零，否则会导致矛盾，这在本文的一开始就说明了。

    再例如，在上述实数轴上任取一个数，其概率1/∞也不能看作是零，否则就意味着我们在实数轴上一个数也取不出来，显然不符合事实。

    不过，在古典概率论中，基本事件的总和即样本空间是有限的，且每个基本事件的发生都是等可能性的。如果将概率论用到实数的研究，这两个条件不一定满足。我正在写的一篇文章试图将古典概率论的基本思想推广到非等可能性的无限样本空间，从而使得可以用概率论对实数进行研究。

    另一个网友说

    无穷级数展开式...，一边是确定的函数式，另一边却是不断延伸变化的无穷级数式，两边属性不同，能相等吗？函数式实际是无穷级数式的极限函数式，教材表示法就是以实无穷为理论基础，极限可达，即无穷可达。

    我的看法是：严格的表述应该是

    无穷级数→函数

    对于极限的表达，我的上一篇博文也有类似的表述。

    这位网友表示同意，

    他还说：

    线段的测度如何计算，勒贝格测度表面是点的测度，实际已经预设线段测度单位区间测度为1，否则，没有这个前提，能计算出单位区间测度吗？

    实际上，数间距是无限小时，数间距的加和就是测度，无比简单！

    还有，既然无理数是“成片”存在的，因此Dirichlet函数不过是一个以有理点为间断点、其它地方都准连续的函数。