上文说到狄里克莱函数没有最小正周期，黄教授认为：“非常数的连续周期函数应该有最小正周期。”只要学过区间套原理、聚点原理之类的东西就不难回答这个问题。想不想试试？如果试不出来再往下看。

假设y=f(x)是连续的周期函数，但没有最小正周期，令

T₀=inf{T|T>0是y=f(x)的周期}，

可以证明T₀=0。事实上，如果T₀>0，则存在y=f(x)的正周期序列{T_n}使得T_n→T₀，对任意x，有

f(x+T₀)=lim_n→∞f(x+T_n)=f(x)，这说明T₀也是y=f(x)的正周期，从而是其最小正周期，这与假设矛盾，故必有T₀=0，于是存在一个趋于0的正周期序列｛T_n}。任取两点x₁，x₂，不妨设x₁<x₂，则存在n₀，对任意n>n₀，存在正整数k_n使得

x₁+(k_n-1)T_n≤x₂<x₁+k_nT_n（为什么？）。

记x_n=x₁+(k_n-1)T_n，y_n= x₁+k_nT_n，则

x_n≤x₂<y_n，

且y_n-x_n=T_n→0，可见x_n→x₂，y_n→x₂。由函数的连续性知f(x_n)→f(x₂)，又因为f(x_n)=f(x₁+(k_n-1)T_n)=f(x₁)，这说明f(x₁)=f(x₂)，即y=f(x)是常数。

张教授又提出一个问题，去掉连续性假设，一个周期函数如果没有最小正周期，其正周期的下确界是否可以为正？也就是说，如果y=f(x)是周期函数（不一定连续），记

T₀=inf{T|T>0是y=f(x)的周期}，

是否必有T₀=0？

前面的证明利用了函数的连续性，所以那个证明不适用于非连续函数，有人能给出这个问题的解答吗？黄教授给出了一个很简洁的证明。假设y=f(x)是没有最小正周期的周期函数（未必连续），如果T₀>0，则存在一列正周期T_n使得T_n→T₀，不妨设T_n单调递减趋于T₀，显然T_n+1-T_n仍是y=f(x)的正周期，当n充分大时，T_n+1-T_n<T₀，这与T₀是正周期的下确界矛盾，故T₀=0。

几个数学教授揪住这些初等问题津津乐道，不知道大学生们对此有何感想？世界上没有无缘无故的爱也没有无缘无故的恨，如果你不了解一件事，就很难对他产生兴趣，但这个了解的过程是需要付出代价的，很多同学之所以缺少兴趣就在于不愿意付出这个代价，也就无法从中得到乐趣。这些问题对于数学专业的同学应该是小儿科，对于非数学专业的同学可能有一定难度。

回到上篇博文说到的狄里克莱函数，这个函数有一个极限表达式：

        D(x)=lim_k→∞lim_n→∞[cos(k!πx)]²ⁿ。

现在有人能证明这个等式吗？只需考虑当x分别为有理数与无理数时k!πx可以取到什么值便不难证明了。如果k!πx不是π的整数倍，其余弦的绝对值严格小于1，从而当指数趋于无穷时趋于0，当k!πx是π的整数倍时，其余弦的绝对值为1，故

                      lim_k→∞lim_n→∞[cos(k!πx)]²ⁿ=1。

所以问题的关键在于当x是无理数时，k!πx为什么不可能是π的整数倍？当x是有理数时，只要k充分大，为什么k!πx一定是π的整数倍？

这篇博文告诉我们两件事实：

1、非常值连续周期函数必有一个最小的正周期；

2、周期函数如果没有最小正周期，其正周期的下确界一定为0。