我自己05年博士毕业留校工作，一直有幸从事微积分的教学研究与实践，这实际一直是我工作的重点，倾注了主要的精力，至今也有12年了。当年读博士时，听过二次复旦大学数学科学学院洪家兴先生的“二阶椭圆型方程”的研究生课程，完整的课程都是脱稿板书讲授的，心中有脉络（基本的思想与方法），讲授时具体展开就可以。这样的风格对自己影响很大，所以自已第一次讲授微积分就是脱稿板书，经过不断地研究与实践，至今也基本形成了自己风格，包括理念、框架、思想、方法。

 由于有“自己的一套”，近几年我一直以讲稿的形式发送学生，但毕竟不太方便。总算在2017年底正式出版了《微积分讲稿——高维微积分》，先前已出版《微积分讲稿——一元微积分》，这二本书的确也是我就微积分知识体系自身的研究与其传播的研究的结晶。仍然引用洪先生的方法“先找一本书精读，学会主要的思想与方法，然后以此作为基础就可以泛读其它的教程或者专著以此取长补短”。就此，我对选我课的同学说“你们既然选了我的课，就请先学会我这套，先集中学习我的书，然后去学习其它优秀教程，这样效率高”。另外值得指出的是，自己这些年持续性建设有课程体系网站“微积分的一流化进程”

http://jpkc.fudan.edu.cn/s/354/

此课程体系网站有系统性的教学视频、图示化研究、讲座文件等信息，内容非常丰富且全球都能访问，特别视频非常清晰与流畅，尽管是我自己随堂录制并剪辑的。现在，教程与教学视频可以结合使用，以此可以自学。目前，我也在建设专门的在线课程，很快也能对外开放。

 谨想通过科学网博客推荐下自己的书“微积分讲稿”以及课程体系网站“微积分的一流化进程”。敬请有兴趣的同行、同学等随时的指正、意见与建议。谢谢

敬业 谢锡麟 谨致

2018年2月14日

《微积分讲稿——高维微积分》

内容提要

 微积分作为整个数理知识体系的基石，不仅对后续诸多数理知识体系的研习具有基础性的意义，而且微积分知识体系自身就为认识世界提供了系统的思想与方法.

 《微积分讲稿——高维微积分》主要针对向量值映照建立微分学与积分学，另包括级数. 高维微分学主要包括：点列的极限、向量值映照的极限、向量值映照的可微性与导数、多元函数的分析性质、多元函数的无限小分析方法、多元函数与向量值映照的有限 增量公式与估计、隐映照定理及其应用、逆映照定理及其应用等. 高维积分学主要包括：曲线、曲面上积分的建立、闭方块上Riemann积分的Darboux分析与Lebesgue定理、Fubini定理与体积分换元公式、广义积分与含有参变量的积分、Gauss-Ostrogradskii 公式、Green公式、Stokes公式与场论基础等. 级数主要包括：数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier级数等.
  本讲稿按知识点划分各份讲稿（对应于章），每一讲稿包括: (1)理论阐述，按知识要素展开，并体现分析的图示化过程；(2)应用事例，归类相关方法使其可适用于一类问题，而非仅是例题的罗列；(3)拓广深化，致力于将相关思想与方法联系于其他知识体系，为专题性研究以及理论联系实际提供事例. 借此，本讲稿兼具理论教程、课程辅导以及拓广深化这三方面的功能. 讲稿撰写上注重体现知识体系的脉络结构、逻辑发展、思想方法；为便于阅读，在写作上注重演绎推导过程完整，应用事例丰富.
 本书可作为力学、物理学、数学、航空宇航科学与技术、材料科学、计算机科学等相关专业的本科生与研究生的微积分教程，亦可作为相关科学与技术研究的参考.

书摘

目录
     
      前言
     
      符号表
     
      第一部分　高维微分学
     
      第一章　向量值映照的背景
      § 1.1知识要素
      § 1.1.1向量值映照
      § 1.1.2范数与距离
      § 1.1.3 Euclid空间中的点列
      § 1.2应用事例
      § 1.2.1极坐标系
      § 1.2.2柱坐标系
      § 1.2.3球坐标系
      § 1.2.4椭圆柱坐标系
      § 1.2.5双极柱坐标系
      § 1.3拓广深化
      § 1.4建立路径
     
      第二章　向量值映照的极限
      § 2.1知识要素
      § 2.1.1向量值映照极限的定义
      § 2.1.2向量值映照极限的分析性质
      § 2.1.3向量值映照极限的计算方法
      § 2.1.4 Euclid空间中点集拓扑基础
      § 2.2应用事例
      § 2.2.1基于路径分析
      § 2.2.2基于极坐标分析
      § 2.2.3累次极限
      § 2.3建立路径
     
      第三章　向量值映照的可微性与导数的计算方法
      § 3.1知识要素
      § 3.1.1向量值映照的可微性定义
      § 3.1.2方向导数
      § 3.1.3高阶偏导数
      § 3.1.4导数计算的充分性方法
      § 3.1.5导数计算的极限分析方法
      § 3.2应用事例
      § 3.2.1导数计算的充分性方法
      § 3.2.2导数计算的极限分析方法
      § 3.2.3矩阵形式的链式求导
      § 3.3拓广深化
      § 3.3.1单参数向量值映照的变化率
      § 3.3.2单参数单位正交基的变化率
      § 3.3.3速度与加速度等合成原理
      § 3.3.4角速度与角速度合成原理
      § 3.3.5单位正交基下速度与加速度的表示
      § 3.4建立路径
     
      第四章　基于直线单参数化的相关分析结论
      § 4.1知识要素
      § 4.1.1直线单参数化
      § 4.1.2多元函数可微性的一个充分性条件
      § 4.1.3多元函数混合偏导数可以交换次序的一个充分性条件
      § 4.2建立路径
     
      第五章　无限小分析方法
      § 5.1知识要素
      § 5.1.1基于直线单参数化获得无限小增量公式
      § 5.1.2多项式逼近的唯一性
      § 5.1.3获得多元高阶多项式逼近的实际方法
      § 5.1.4自由最值问题
      § 5.1.5多元函数展开至二阶的几何意义
      § 5.2应用事例
      § 5.2.1自由最值问题
      § 5.2.2获得复杂函数的多元高阶多项式逼近
      § 5.3建立路径
     
      第六章　有限增量公式或估计
      § 6.1知识要素
      § 6.1.1基于直线单参数化的多元函数的有限增量公式
      § 6.1.2基于曲线单参数化的多元函数的有限增量估计
      § 6.1.3基于曲线单参数化的向量值映照的有限增量估计
      § 6.2建立路径
     
      第七章　曲线向量值映照
      § 7.1知识要素
      § 7.1.1曲线的切向量与切线
      § 7.1.2曲线的局部标架与其运动方程
      § 7.1.3曲线的局部参数化
      § 7.2应用事例
      § 7.3建立路径
     
      第八章　曲面向量值映照
      § 8.1知识要素
      § 8.1.1曲面的切平面与法向量
      § 8.1.2曲面的基本形式
      § 8.1.3曲面的 Gauss曲率与平均曲率
      § 8.1.4曲面的局部标架与其运动方程
      § 8.1.5曲面的法截线与主法截线
      § 8.1.6曲面的局部参数化
      § 8.2应用事例
      § 8.2.1二维Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率
      § 8.2.2旋成曲面的Gauss曲率及平均曲率
      § 8.3建立路径
     
      第九章　隐映照定理
      § 9.1知识要素
      § 9.1.1 Euclid空间中闭集上的压缩映照定理
      § 9.1.2由压缩映照定理获得隐映照定理
      § 9.1.3隐函数导数的计算方法
      § 9.2应用事例
      § 9.2.1隐函数的导数计算
      § 9.2.2隐映照的导数计算
      § 9.3拓广深化
      § 9.3.1基于压缩映照定理研究动力系统的解的存在性
      § 9.3.2基于压缩映照定理研究动力系统的解对初值的连续依赖性
      § 9.4建立路径
     
      第十章　隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示）
      § 10.1知识要素
      § 10.1.1隐映照定理
      § 10.1.2曲线的隐式表示
      § 10.1.3曲面的隐式表示
      § 10.2应用事例
      § 10.2.1曲线的隐式表示
      § 10.2.2曲面的隐式表示
      § 10.3建立路径
     
      第十一章　隐映照定理的应用（约束上的最值问题）
      § 11.1知识要素
      § 11.1.1隐映照定理
      § 11.1.2约束上最值问题
      § 11.1.3 Lagrange乘子法
      § 11.2应用事例
      § 11.2.1约束上最值问题
      § 11.2.2利用约束最值获得不等式
      § 11.3建立路径
     
      第十二章　逆映照定理与微分同胚
      § 12.1知识要素
      § 12.1.1由隐映照定理获得逆映照定理
      § 12.1.2由压缩映照定理获得逆映照定理
      § 12.1.3微分同胚
      § 12.2拓广深化
      § 12.2.1秩定理
      § 12.2.2秩定理的应用——函数相关性与无关性
      § 12.2.3 Morse定理
      § 12.2.4 Morse定理的应用——平面曲线奇点的类别
      § 12.2.5曲面的流形观点解释
      § 12.3建立路径
     
      第十三章　隐映照定理与逆映照定理的综合应用
      § 13.1知识要素
      § 13.1.1变换方程
      § 13.1.2 Frobenius定理
      § 13.1.3基于曲面的半正交系
      § 13.2应用事例
      § 13.2.1变换方程——仅有自变量变换
      § 13.2.2变换方程——既有自变量变换又有因变量变换
      § 13.2.3 Frobenius定理——直接推导Pfaff方程
      § 13.3建立路径
     
      第二部分　高维积分学
     
      第十四章　积分应用理论
      § 14.1知识要素
      § 14.1.1曲线上的积分
      § 14.1.2曲面上的积分
      § 14.2建立路径
     
      第十五章　积分分析理论（Darboux和分析）
      § 15.1知识要素
      § 15.1.1闭方块上有界函数的Darboux和分析
      § 15.1.2闭方块上Riemann可积的等价性叙述
      § 15.1.3闭方块上Riemann可积的函数
      § 15.2应用事例
      § 15.3建立路径
     
      第十六章　积分分析理论（Lebesgue定理）
      § 16.1知识要素
      § 16.1.1Lebesgue零测集
      § 16.1.2函数在某一点的振幅
      § 16.1.3 Cantor定理
      § 16.1.4 Lebesgue定理/判别法
      § 16.1.5允许集上Riemann积分的定义
      § 16.2应用事例
      § 16.3建立路径
     
      第十七章　计算理论（Fubini定理）
      § 17.1知识要素
      § 17.1.1 Fubini定理
      § 17.1.2典型积分域上的积分
      § 17.2应用事例
      § 17.3建立路径
     
      第十八章　计算理论（体积分换元公式）
      § 18.1知识要素
      § 18.1.1微分同胚映照下的相关结论
      § 18.1.2简单微分同胚的相关结论
      § 18.1.3体积分换元公式
      § 18.2应用事例
      § 18.2.1基本理论
      § 18.2.2平面极坐标系变换
      § 18.2.3柱坐标系变换
      § 18.2.4球坐标系变换
      § 18.2.5正交变换
      § 18.2.6一般区域变换
      § 18.2.7广义球坐标系变换
      § 18.2.8角区与带形区域变换
      § 18.3建立路径
     
      第十九章　广义积分与含参变量的积分
      § 19.1知识要素
      § 19.1.1广义积分的定义
      § 19.1.2判定广义积分敛散性的计算方法
      § 19.1.3含参变量的积分
      § 19.2拓广深化
      § 19.2.1计算一阶变分
      § 19.2.2计算二阶变分
      § 19.3应用事例
      § 19.3.1计算广义积分
      § 19.3.2利用含参变量的积分计算相关积分
      § 19.3.3计算变分
      § 19.4建立路径
     
      第二十章 Gauss-Ostrogradskii公式
      § 20.1知识要素
      § 20.1.1延拓形式的 Newton-Leibniz公式
      § 20.1.2 Gauss-Ostrogradskii公式的原型
      § 20.1.3 Gauss-Ostrogradskii公式的应用形式
      § 20.2应用事例
      § 20.3建立路径
     
      第二十一章 Green公式
      § 21.1知识要素
      § 21.1.1平面区域边界的定向
      § 21.1.2由Gauss-Ostrogradskii公式获得Green公式
      § 21.2应用事例
      § 21.3建立路径
     
      第二十二章 Stokes公式
      § 22.1知识要素
      § 22.1.1简单正则曲面及其定向
      § 22.1.2简单正则曲面的边界及其定向
      § 22.1.3 Stokes公式
      § 22.2应用事例
      § 22.3建立路径
     
      第二十三章　场论基础
      § 23.1知识要素
      § 23.1.1微分关系式
      § 23.1.2积分关系式
      § 23.1.3数学物理中的有关积分
      § 23.1.4无旋向量场的势函数
      § 23.2应用事例
      § 23.2.1基于典则基下的展开推导微分恒等式
      § 23.2.2基于体积局部基下的展开推导体积上微分恒等式
      § 23.2.3基于曲面局部基下的展开推导曲面上微分恒等式
      § 23.2.4单位正交基下微分算子的表示
      § 23.2.5无旋向量场的势函数
      § 23.3建立路径
     
      第三部分　级数
     
      第二十四章　正项数项级数
      § 24.1知识要素
      § 24.1.1比较的思想
      § 24.1.2相关结论
      § 24.1.3上下极限的定义与其基本性质
      § 24.2应用事例
      § 24.2.1直接展开
      § 24.2.2比值展开
      § 24.2.3根式形式
      § 24.3建立路径
     
      第二十五章　一般数项级数
      § 25.1知识要素
      § 25.1.1数项级数收敛的 Cauchy收敛原理
      § 25.1.2 Abel和式与Abel估计
      § 25.1.3数项级数的Abel-Dirichlet判别法
      § 25.1.4数项级数的基本分析性质
      § 25.2应用事例
      § 25.2.1交叉级数
      § 25.2.2直接展开
      § 25.2.3比值展开
      § 25.2.4一般方法
      § 25.3建立路径
     
      第二十六章　函数项级数
      § 26.1知识要素
      § 26.1.1点点收敛与一致收敛的概念
      § 26.1.2一致收敛的Cauchy收敛原理
      § 26.1.3基于一致收敛的分析性质
      § 26.1.4研究一致收敛性的若干方法
      § 26.2应用事例
      § 26.2.1判定函数序列的一致收敛性
      § 26.2.2判定函数项级数的一致收敛性
      § 26.3拓广深化
      § 26.3.1基于Picared迭代研究动力系统的解的存在性
      § 26.3.2基于Picared迭代研究动力系统的解对初值的可微依赖性
      § 26.4建立路径
     
      第二十七章　幂级数
      § 27.1知识要素
      § 27.1.1幂级数的收敛半径及收敛域
      § 27.1.2幂级数的分析性质
      § 27.1.3获得复杂函数的幂级数表示
      § 27.2应用事例
      § 27.2.1求幂级数收敛半径及收敛域
      § 27.2.2获得幂级数的和函数
      § 27.2.3获得复杂函数的幂级数展开
      § 27.2.4利用幂级数求级数的和
      § 27.3建立路径
     
      第二十八章　Fourier级数
      § 28.1知识要素
      § 28.1.1Fourier级数的点收敛观点
      § 28.1.2Fourier级数的内积观点
      § 28.2应用事例
      § 28.3建立路径
     
      名词索引
     
      插图目录
     
      参考文献
     

附：《微积分讲稿—— 一元微积分》

内容提要

 微积分作为整个数理知识体系的基石，不仅对后续诸多数理知识体系的研习具有基础性的意义，而且微积分知识体系自身就为认识世界提供了系统的思想与方法.
  本著述《微积分讲稿——一元微积分》，主要针对一元函数建立微分学与积分学，一元微分学主要涉及：数列的极限、函数的极限、函数的导数、闭区间上连续函数的性质、无限小增量公式、有限增量公式、函数局部行为研究、函数全局行为研究等；一元积分学主要涉及：Riemann积分的定义、Riemann积分的应用理论、Riemann积分的分析理论、Riemann积分的计算理论、广义积分，以及常微分方程基础等.
 本讲稿按知识点划分各份讲稿 (对应于章)，每一讲稿包括：(1)理论阐述，按知识要素展开，并体现分析的图示化过程；(2)应用事例，归类相关方法使其可适用于一类问题，而非仅是例题的罗列；(3)拓广深化，致力于将相关思想与方法联系于其他知识体系，为专题性研究以及理论联系实际提供事例. 借此，本讲稿兼具理论教程、课程辅导以及拓广深化这三方面的功能. 讲稿撰写上注重体现知识体系的脉络结构、逻辑发展、思想方法；为便于阅读，在写作上注重演绎推导过程完整，应用事例丰富.
 本书可作为力学、物理学、数学、航空宇航科学与技术、材料科学、计算机科学等相关专业的本科生与研究生的微积分教程，亦可作为相关科学与技术研究的参考.