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2015年5月10日初步发布 《图解微积分—高维微分学部分》

已有 5833 次阅读 2015-5-11 09:07 |系统分类:教学心得


微积分等数学学习中,往往会觉得对一些重要定理的分析晦涩难懂,往往会觉得今天好不容易大致看懂了,但过了一些时日再回顾感觉就像没有学过一样。课程基本学习后,对于知识体系的总体思想及总体结构也不容易形成清晰地认识。

     诚然,对于知识体系的认识需要也值得进行持续性的思考,就算对于最为基础、最为核心的微积分自身已经有了很深刻的认识,也值得研究微积分同其它数理知识体系之间的关系。

今日基本完成的“图解微积分—高维微分学部分”,试图以图示的方式表示或揭示高维微分学的基本概念、主要结论的分析思想与方法以及相关应用方法。我们似乎对于“图”有着与生俱来的亲近感与认同度,故希望基于这些图示表达对微积分相关思想与方法的认识与体会。当然,这些仅是自己的认识与体会,欢迎任何批评、意见及建议。

值得指出,至少按自己的现有认识,微积分中主要结论的分析过程的确都可以通过图示加以表示。现在无论自己整理知识体系,还是课堂讲授,都致力于将复杂的分析过程分解成为若干要义,要义可以为总体的处理思想以及具体的数学结构。特别值得指出,有些分析过程仅利用一个或者少数几个数学结构,对此可以先做澄清,然后应用时就得心应手了。如多元函数可微性的充分性结论、多元函数混合偏导数可以交换次序的充分性结论,都可以“单参数直线化”作为共同的数学结构,自己将此类结构称为“数学通识”。这些数学结构如同“无名英雄”,在多数教程中它们往往不会被界定为定理、性质甚至是引理,但它们确实是构建整个分析大厦的基石。

由此,自己也谨认为,微积分的思想与方法并不体现于具体的结果,而是蕴含于具体的分析过程,并且是什么样的数学结构出什么样的结果。藉此,自己上课时注重并致力于清晰阐述主要结论的分析过程。值得指出,如果教师的认识足够深刻,应该是可以找到合适的方法让多数学生明白的,在此过程中,让学生领悟微积分的思想与方法。基于如此的认知程度,今后才能得心应手地应用微积分,并且基于微积分驱动对更高层次数理思想与方法的认知,真正具有基于已有知识认知甚至发展新知识的能力、真正具有理论联系实际的能力。


谢锡麟 谨识

2015年5月10日


高维微分学-00-总体框架.png

高维微分学-01-点列极限.png

高维微分学-02-映照极限.png

高维微分学-03-向量值映照可微性.png

高维微分学-04-单参数直线化.png

高维微分学-05-隐映照定理的证明.png

高维微分学-06-条件极值.png

高维微分学-07-微分同胚.png











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