前几天在Bertrand悖论的博文里简单的分析了三个解，从弦的中点出发是个很好的着力点，知道了弦的中点，就能算出弦长，中点不在圆心时，连方向都能定下来。1/4的解法要求弦的中点在圆内均匀分布(x-y坐标系)，1/2的解法要求弦的中点在直径上均匀分布(r-θ坐标系)，这两者显然不是等价的，所以才造成了不同的结果。那么1/3的解呢？1/3的解要求弦的中点在什么地方均匀分布？

1/3的解法里面，弦的中点构成了一个以大圆半径为直径的小圆，这些小圆会铺满整个大圆，但小圆的交点作为弦的中点没必要重复计算2次，只需要一半的圆就行。下面有四张动画来帮助理解。

利用这一点我们可以建立一个φa-φb坐标系，下图中蓝线与绿线夹角为φa，可以从0变到π；绿线与x轴夹角为φb，可以从- π变到π。

小圆半径a为常数，那么对于任意一点A：

x_A=a(Cos[φb]+Cos[φa+φb])

y_A=a(Sin[φb]+Sin[φa+φb])

r_A²=2a²+2a²Cos[φa]

θ_A=0.5φa+φb

x_A和y_A的公式还可以用和差化积继续化简。

这里一共出现了6个变量：x、y、r、θ、φa、φb。回到Bertrand悖论，随机弦是一个复杂的概念，有长度，有方向。1/4的解法认为x、y是随机数，1/2的解法认为r、θ是随机数，1/3的解法认为φa、φb是随机数，但是任意2个随机数组合起来就不再随机。看看上面那些公式，φa、φb为随机数时，x、y、r、θ将不再有随机性，不再等概率。同样的，如果x、y为随机数，或者r、θ为随机数，都将改变另外4个变量的随机性。弦长能用r算出来，r的分布图像的不同会导致弦长分布图像不同，进而影响弦长概率的计算。

编程计算后发现，Bertrand悖论的三种方法分别对应三种坐标系下点的均匀分布，我这里的“均匀分布”是把坐标系分量变成横坐标和纵坐标，如果任意相邻两点间距相等，则为“均匀分布”。图片有27张，放在下面三个链接里面：

1.概率为1/2时，弦的中点在r-θ坐标系中均匀分布。

2.概率为1/3时，弦的中点在φa-φb坐标系中均匀分布。

3.概率为1/4时，弦的中点在x-y坐标系中均匀分布。且通过圆心的弦只有一根。

弦的中点分布情况决定了不同弦长的弦出现的概率。

最后再举个简单的例子来说明这个悖论吧：

题目：12个数字里面随机抽1个数字，大于10的概率是多少？

A：在1，2，3，4，5，6，11，12，13，14，15，16这12个数字里，随机抽到的数字大于10的概率是1/2；

B：在1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14这12个数字里，随机抽到的数字大于10的概率是1/3；

C：在1，2，3，4，5，6，7，8，9，11，12，13这12个数字里，随机抽到的数字大于10的概率是1/4；