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Zmn-0263 杨六省：答“Zmn-0255”

已有 1668 次阅读 2020-7-11 08:42 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0263 杨六省：答“Zmn-0255”

【编者按。下面是杨六省先生发来的文章。回答《Zmn-0255》新华先生的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

答“Zmn-0255”

杨六省

按照“Zmn——0255”中的行文顺序，简答如下：

①我并不认为，由M.克莱因的话——“√2与1不能公度的证明是毕达哥拉斯学派给出的。……这个证明当然和现今对√2为无理数的证明相同”，可以推知“2000多年前就有了有理数和无理数的定义”。事实上，当时人们只知道整数和整数之比，其他全然不知，包括“有理数”这个名称。试问，如果当时人们已有了有理数和无理数的定义，何以会发生第一次数学危机？不管是“√2不是有理数”，还是 “√2是无理数”，都是现今的说法，包括√2这个符号也是后来才有的。人们之所以采用现今的表述形式，仅仅是为了方便而已。试想，如果我们今天仍采用“等腰直角三角形斜边与一条直角边之比，不可表为两整数之比”的说法，多不方便呀！数学史岂会“穿越”？毕达哥拉斯学派如何能够来到现今，然后返回，再把“等腰直角三角形斜边与一条直角边之比，不可表为两整数之比”置换为“√2是无理数”？于是，2000多年前的毕达哥拉斯学派便知道了√2这个符号，知道了有理数和无理数的概念和定义？这种联想恐怕也太夸张了吧！应该知道，这里不讨论科幻！事实上，M.克莱因的话也只是想表明，现今关于“等腰直角三角形斜边与一条直角边之比，不可表为两整数之比”的证法与毕达哥拉斯学派的证法相同，仅此而已，我也正是在这种意义上引用了M.克莱因的话。

②“把√2不是有理数的矛盾命题表成了√2=α：β（α，β互素）”，有错吗？

关于这个问题，我在《悖论是什么——70个悖论的消解》一书第28-29页已有交代，内容如下：

也许有人会说，对于√2=α：β而言，既然假设了α和β全是整数，那么，把假设条款写成“α，β互素”，似乎并没有什么错。是的，是谈不上什么错，因为它并不必然导致错误，但是，这样做没有必要。不管我们的目的是要确认√2 是不是有理数，还是要证明√2不是有理数，把α：β写成最简分数的形式，并不是讨论问题的必要条件（笔者注：“Zmn——0255”说，“假设√2是有理数，必须表成√2=α：β（α，β互素）”）；尤其是，如果真实的情况是α和β并非全是整数，那么，写入“α，β互素”这样的假设条款，不仅用不上，还容易造成误导，而一旦用上它，你的推理必然发生错误。

③“有理数与无理数之间的矛盾是绝对的，……它们没有矛盾。”

对于√2=α：β（β为整数）而言，如果α是整数，√2就是有理数，否则，√2就是无理数，如此单纯的非此即彼（排中律：√2或者是有理数，或者不是有理数，即它是无理数）问题，与辩证法何干？

④ “对于√2=α：β，其中的α和β不可能全是整数”而言，仅仅“α和β不可能全是整数”不能确定α：β不能化成两个整数之比，不能表明α：β就是无理数。

“√2是无理数”不成立？

⑤ “对于√2=α：β，其中的α和β不可能全是整数”作为结论，α不可能是偶数，α不可能是奇数，不能作为√2是无理数判断标准。

证明一开始，我就先行地假设了β是整数。

⑥ “证明的最后结果没有表明√2是什么数”。

你非让我说“√2是无理数”吗？你的意思是，因为无理数是指无限不循环小数，所以，我得算！但是，我只能把2的平方根算到有限位，于是，你会说——“瞧，你没有证明，事实上，你也不可能证明√2是无理数，因为世上没有长生药，你不可能永久地活下去，不可能永久地计算下去！”——是这个意思吗？但是，相信你看过下文中的⑧之后，就会清醒过来：我连一步也不算，就能表明√2是无理数。

⑦ “α和β不可能全是整数的比式有无穷多种，必须要全部排除不是符合√2=α：β的，这是不可能的。”

请问，人们在假设α和β是整数的时候，说过它们只能代表某些特殊的数没有？如果没有，怎么能不算“全部排除”？

⑧ “现在的无理数定义也无法判断√2是无理数”。

可以证明，凡整数之比均可以化为有限小数或无限循环小数，反之也成立（注：此乃小学数学教师务必掌握的基础知识）。于是，应用反证法可证——“一个数不能表成两个整数之比”与“该数是无限不循环小数”是等价的。这就是说，如果我能证明“√2不可表为两整数之比”，就是证明了√2是无理数。

结束语：我觉得只有第②条的质疑在理（注：此处的“在理”是指，有一定的道理，即合理性，但这并不表示这种质疑就一定是正确的），其余观点不敢恭维！尤其是下面的3条，更是令笔者震惊！

（i）“仅仅‘α和β不可能全是整数’不能确定α：β不能化成两个整数之比，不能表明α：β就是无理数”。

（ii）“证明的最后结果没有表明√2是什么数”（注：这里是就现今而言，而不是指毕达哥拉斯学派的时代，因为那时根本就没有“有理数”和“无理数”的概念）。

（iii）“现在的无理数定义也无法判断√2是无理数”。（笔者注：这种“抱怨”合理吗？定义一定要提供（包含）具体的判断方法吗？）

上述第（i）条，不承认“√2是无理数”！笔者给出的解释是：对于√2=α：β，我们可以证明，其中的α和β不可能全是整数（注：参见笔者的证明），但上述第（i）条说——“仅仅‘α和β不可能全是整数’不能确定α：β不能化成两个整数之比，不能表明α：β就是无理数”，其意思是，尽管α和β不可能全是整数，但α：β有可能化成两个整数之比，因此，α：β有可能是有理数。笔者的质疑是：如果α和β不可能全是整数，但α：β有可能化成两个整数之比，也就是√2有可能化成两个整数之比，不妨令√2=m:n（m,n均为整数）,再令α=m和β=n,这岂不与α和β不可能全是整数矛盾？因此，第（i）条是荒谬之论！

笔者之所以震惊，不是说我们不可以质疑数学史上的已有定论，而是说，如果我们的思考疏于严谨，甚至逻辑是混乱的，又不明白给概念下定义的目的是揭示（或说规定）我们研究的对象“是什么”，就必然会陷于矛盾和荒谬！例如，无理数是指无限不循环小数，因此，我们说“√2是无理数”，是指我们“可以证明√2是无限不循环小数”（理由参见⑧），而不是指我们“能够具体的写出这个无限不循环小数”，如果我们将二者混为一谈，岂不贻笑大方，多尴尬呀！人不可能不犯错，但要尽量少犯错，尤其要少犯或不犯基本概念方面的逻辑错误，然而上述3条，正是这类错误，这是最难以被原谅的一类错误。

声明：（1）以后遇到对拙文的批评或质疑，如果拙文中已有释疑内容的，例如，关于“毕达哥拉斯学派的证明是符合反证法的要求，证明的结果没有问题”、“毕达哥拉斯学派关于‘α是偶数’的推理是一点错误也没有的”，等等，我将不予作答。（2）与笔者的观点——毕达哥拉斯学派及后世关于“等腰直角三角形斜边与一条直角边之比，不可表为两整数之比”的证明是无效的——无关的内容，不管对与错，一概不予作答（注：为了专注于自己的思考对象，不应该被别人带节奏，即随之起舞，不能因为别人谈论什么，我就去回复什么），请见谅！（注：基于以上两条声明，以后遇到类似于本帖中的①或③——⑧的内容，不予作答）

（以上答复早已拟好，但文字表述尚需推敲，因有其他事，故拖至现在才递发）

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