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Zmn-0447 杨六省：　数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解。

已有 1705 次阅读 2021-2-12 11:31 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0447 杨六省：　数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解。

【编者按。下面是杨六省先生发来的文章。是对薛问天先生在《0414》文后跟帖的评论。经同意文后附作者的三篇文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

。

数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解

杨六省（ yangls728@163.com）

薛问天教授写道：“在用反证法证明【√2不是有理数】的证明中，只要由反证法的假定【√2是有理数】推出任何的矛盾，都可以推翻此假定，使定理得证。”（参见科学网《数学啄木鸟专栏》中“Zmn-0414 黄汝广：√2是无理数的反证法有效么？ 2021-1-12 21:29”一帖后的“转发薛问天先生的评论”）

笔者评析：关于反证法概念，一个基本的常识是——“在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题。关于“√2不是有理数”的证明，原论题是“√2不是有理数”，其表达式是“√2=p/q（p和q不全是整数）”；反论题是“√2是有理数”，其表达式是“√2=p/q（p和q全是整数）”。

由原假定“√2=p/q（p和q全是整数）”推出的新的假定“√2=p/q（p，q互质）”，已不再是原论题的反论题了，因为表达式“√2=p/q（p，q互质）”与原论题“√2不是有理数”并不是矛盾判断关系（理由参见笔者在“对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑”一贴中的分析），这就是说，薛问天教授已经犯了一个常识性的错误（注：你赞同，就是你犯错，不能甩锅给毕达哥拉斯学派）！

接下来，关于“p是偶数”和“q是偶数”这样的结论（注：姑且不论其推理是否有效），其虽与新假定“√2=p/q（p，q互质）”中的“p，q互质”矛盾，但根据这个矛盾，并非像薛问天教授所说的，就能够推翻“√2是有理数”这个原假定，从而使“√2不是有理数”得证（理由参见笔者的上述帖子）。

值得指出的是，“√2=p/q（p，q互质）”与“√2=p/q（p和q全是整数）”事实上存在着一种微妙的逻辑层次方面的差异——关于这一点，虽不能说，只可意会不可言传，但它确实需要人们“悟”，因为它属于思辨思维。

如果我们的教师，尤其是我们的教科书，都像薛问天教授一样，教给学生一个关于反证法的糊涂观念——认为不管“推出”任何的矛盾都行，哪怕这种矛盾并不能否定反论题，并不能确立原论题；也不管这些“推出”是否都合理——这样的教学，岂不误人子弟？

我们要教好、学好反证法，需要把握好3点：①设定的反论题，务必与原论题是矛盾判断关系。②务必做到每一步推理都是合理的。③最终推出的矛盾，要能够否定反论题。

基于上述原因，数学教育界，尤其是数学教学研究机构和教科书编写单位，应该正视目前普遍存在的对反证法概念的误解。为了对学生负责，有错必纠，不能麻木不仁！同时，要克服如下僵化思想：关于“√2不是有理数”的证明，是由著名的毕达哥拉斯学派给出的，经由逻辑学之父亚里士多德、几何学之父欧几里得等科学巨人转述，又经历了25个世纪之久的考验，怎么可能会错呢？就此，笔者要问，如果论证一个观点，可以“诉诸权威”、“诉诸大众”，那么，“地心说”就是真理了！因为“地心说”是由权威人士亚里士多德提出的，他被恩格斯誉为古希腊哲学家中“最博学的人物”；再说，“太阳绕着地球转”又是当时普天下人的共识。但问题是，“权威”和 “大众”这两个概念，与所论问题真有内在必然联系吗？因此笔者认为，作为数学行家（包括数学教育家）对于反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解，而应该科学严谨，有错必纠，切勿以讹传讹，误人子弟！

附件。文中涉及的三篇文章

对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑

杨六省

yangls728@163.com

何为反证法？笔者先引述一个关于反证法的词条：

反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题。（摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条）

说明：

①在金岳霖主编的《形式逻辑》一书第291页中，也有与上述类似的表述：“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。”（笔者注：矛盾论题即反论题）

②矛盾判断是指，其中一个真则另一个假，一个假则另一个真。

笔者试问人教版《数学》（七年级下册）的编者：是谁在误导初中数学教师错误的应用反证法？

人教版《数学》七年级下册第58页有如下论述：

假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

√2=p/q，

于是 p=√2q.

两边平方得 p²=2q².

由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

q²=2s².

所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

笔者评析：关于“√2不是有理数”的证明，原论题是“√2不是有理数”，其表达式是“√2=p/q（p和q不全是整数）”；反论题是“√2是有理数”，其表达式是“√2=p/q（p和q全是整数）”。把一个分数化成最简分数，本是一件“好事”。但列宁说的好，真理再向前迈出一步，就会变成谬误。下面我们将揭示，把反论题的表达式“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p/q（p和q全是整数）”改写成最简分数的形式是一种失误，因为它使得反证法能够得以有效应用的基本条件——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”——不复存在。

“原论题真”是指，对于“√2=p/q”而言，“p和q不全是整数”成立。这时，谈论“p，q互质”的真假是没有意义的。也许有人会说，不妨把“p，q互质”没有意义“理解为假”。但问题是，在教科书中，“互质”与“非互质”概念都是针对两个整数而定义的，我们不可以违反同一律，在同一个论证过程中，对“p，q互质为假”这一说法赋予相互矛盾的含义。因此，上述那个“理解为假”是行不通的。简言之，如果“原论题真则反论题（指改写后的表达式“√2=p/q（p，q互质）”所代表的新的反论题，下同）假”成立，则前件要求认可“p和q不全是整数”，后件则相反，矛盾，故“原论题真则反论题假”不成立。

同理，“反论题假则原论题真”也不成立。

综上分析，教科书中所设定的新的反论题与原论题并非矛盾判断关系，因此，教科书是在不合理的应用反证法。事实上，按照教科书的思路，由“p是偶数”和“q是偶数”这样的结论（注：姑且不论其推理是否有效）只能否定“√2=p/q（p，q互质）”，而不能否定“√2=p/q（p和q全是整数）”，因为“p是偶数”和“q是偶数”与“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p和q全是整数”并不矛盾；而由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定，只能肯定“√2=p/q（p，q非互质）”，因为后者与前者是矛盾判断关系——由于“非互质”概念是针对两个整数而定义的，从而只能推出“p和q全是整数”，而不能推出“p和q不全是整数”，即不能推出√2不是有理数。但人教版教科书却写道——“这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。”如上所述，“√2=p/q（p，q互质）”与 “√2=p/q（p和q不全是整数）”并非矛盾判断关系，试问人教版编者：“p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾”，那么，如何根据这个矛盾就能够说明“√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数”呢？如果这样的“说明”站不住脚，那就不能认可教科书中的证明是有效的，不管这个证明来源于哪里！

我们还可以换一个角度来解释，为什么不可以把“√2不是有理数”的反论题“√2是有理数”的表达式“√2=p/q（p和q全是整数）”改写成“√2=p/q（p，q互质）”？在“√2=p/q（p和q全是整数）”中，等式的左边是无理数√2，右边是一个分数表达式，所以，“√2=p/q（p和q全是整数）”是一个矛盾式。希尔伯特说，“如果一个概念具有矛盾的属性，那我就认为这概念在数学上不存在。”因此，表达式“√2=p/q（p和q全是整数）”不具有存在性。现今的人们都知道，√2具有客观存在性，再加上它又是我们所讨论的对象，所以，我们无疑的会认可√2在“√2=p/q（p和q全是整数）”中的存在性。这样说来，“√2=p/q（p和q全是整数）”之所以不存在，只是由于等式的右端不存在。试问，对于一个不具有存在性的东西，何以能够谈论分数的化简呢？还可以换一种说法，现今的人们都知道，对于“√2=p/q”而言，其中的p和q不可能全是整数，在这种情况下，谈论分数的化简有意义吗？也许有人会说：倘若你我都不知道√2是不是有理数，那么，凭什么理由反对我们把“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p/q（p和q全是整数）”改写成最简分数“p/q（p，q互质）”呢？笔者的回答是，对于一个独立存在的分数，或是在满足协调性的情况下，把一个分数“p/q（p和q全是整数）”化成最简分数“p/q（p，q互质）”，这是天经地义的事，笔者对此不持异议。但是，倘若我们并不知道√2是不是有理数，并不知道“√2=p/q”中的p和q是不是全是整数，在这种不明真相的情况下，贸然的对“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p/q（p和q全是整数）”实施最简分数的化简，就是一种不合理的做法。理由是，务必把“无意义的判断”与“假的判断”区别开来，例如，“这只苹果是不甜的”可能是一个假的判断，但它是有意义的，因为味道（不管甜与否）毕竟是苹果的属性；但是，如果我们说，“这只苹果是深刻的”，或说“这只苹果是不深刻的”，这样的判断就是无意义的，因为思想不是苹果的属性。简言之，“p和q是否全是整数”是表达式“√2=p/q”的属性，但“p和q是否互质”则不一定是“√2=p/q”的属性（注：这里是指，假设我们尚不知道√2是不是有理数）。正是由于这个原因，上述“贸然的做法”可能会使我们陷于无意义的判断，从而陷于荒谬，因此，它是不合理的。

我们不仅要知道反证法的定义是什么，更要能够把握其思想要旨——被设定的反论题，务必与原论题是矛盾判断关系。但是，我们的教科书（注：不只人教版），强调了这一点吗？

附：本文作者的证明

命题：对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。

证明：我们总可以把√2= p/q写成p²=2q²（q是整数）的形式。

① p不可能是偶数

假设p是偶数，设p=2r（r是整数）,代入p²=2q²,得p²=2r²。如果p²=2q²（q是整数）中的p是偶数，那么，p²=2r²（r是整数）中的q也是偶数；……这样下去，就会推出p和q均含有无穷多个因数2（注：例如，关于p，开始假设p=2r；后面还会假设r=2t；……），从而说明p和q均不是整数，但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾，故对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是偶数。

② p不可能是奇数

理由是，奇数的平方不可能是偶数。

综上所述，对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是整数，换一种说法，对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。

本文来自诸平科学网博客。
链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-212210-1266331.html

人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力

杨六省

yangls728@163.com

笔者对初中数学教科书中关于“√2不是有理数”的证明存在质疑(已经托诸平老师在科学网博客进行转发：

对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑 2021-01-25；

又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的 2021-01-26)。

例如，人教版数学七年级下册第58页引用的是欧几里得《原本》中的证明方法如下：

假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

√2=p/q，

于是 p=√2q.

两边平方得 p²=2q².

由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

q²=2s².

所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

我的质疑是：

①把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题，是合理的吗？

说明：关于反证法，一个基本的要求是——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”（摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条）。金岳霖主编的《形式逻辑》一书中也有类似的表述：“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。” 矛盾判断关系务必满足：原论题真则反论题假；反论题假则原论题真。

②由假设√2=p/q（p和q全是整数）能够推出“p和q都是偶数”吗？

③由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，能推出“√2不是有理数”吗？

笔者数次向人教社中学数学编辑室反映我的质疑，2021-1-19收到回复如下：

杨老师：

你好。

收到你的邮件，感谢你对我们教材的关注。

邮件对我室编写的义务教育教科书数学七年级下册中关于根号2不是有理数的证明提出质疑。经研究，我们认为上述教科书中关于根号2不是有理数的证明没有问题，这也是通常使用的证明方法。

再次感谢你对我们教材的关注。

人民教育出版社中学数学编辑室

2021年1月19日

笔者认为，上述回复缺乏说服力，因为我最想看到的是对我的质疑的具体反驳。

例如，我认为，由p和q都是偶数（注：姑且不论证明中关于这种结论的推出是否有效）与假设p，q互质矛盾，是推不出“√2不是有理数”的，理由是：由p和q都是偶数只能否定“√2=p/q（p，q互质）”，而不能否定“√2=p/q（p和q全是整数）”，因为p和q都是偶数与“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p和q全是整数”并不矛盾；而由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定，只能确立“√2=p/q（p，q非互质）”（——从而可以推出p和q全是整数，因为“非互质”概念是针对两个整数而定义的），而不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”，因为只有“√2=p/q（p，q非互质）”与“√2=p/q（p，q互质）”才是矛盾判断关系，而“√2=p/q（p和q不全是整数）”与“√2=p/q（p，q互质）”，如上文所述，并不构成矛盾判断关系。因此，由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定（注：姑且不论推理是否有效），并不能否定反论题“√2=p/q（p和q全是整数），并不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”为真，即并不能说明“√2不是有理数”。

如果对方认为，我的质疑是站不住脚的，就应该指出我错在何处，为什么错？如果对方认为，教科书的说法没有问题，就应该很有底气的展示出推理细节，而不可以有如下想法：教科书是转引自欧几里得《原本》中的证明，欧几里得可是几何学之父呀！再说，其他的数学文献也都是这样证明的呀！关于第一次数学危机，2500年以来，数学史已早有定论呀！——是毕达哥拉斯学派发现并证明了“√2不是有理数”。如果有这样的想法，那就是“诉诸权威”、“诉诸大众”了。如果论证一个观点，可以“诉诸权威”、“诉诸大众”，而且有效，那么，“地心说”就是真理了！因为“地心说”是由逻辑学之父亚里士多德提出的，他被恩格斯誉为古希腊哲学家中“最博学的人物”；再说，“太阳绕着地球转”也是当时普天下人的共识。《中国科学院关于科学理念的宣言》说得好，它说——“科学精神是对真理的追求。不懈追求真理和捍卫真理是科学的本质。科学精神体现为继承与怀疑批判的态度，科学尊重已有认识，同时崇尚理性质疑，要求随时准备否定那些看似天经地义实则囿于认识局限的断言，接受那些看似离经叛道实则蕴含科学内涵的观点，不承认有任何亘古不变的教条，认为科学有永无止境的前沿。”

不能认为，应用反证法，无论推出了什么样的矛盾，都表示原论题得证，而不考虑反论题的设定是否正确，每一步的推理是否合理，这种含混的观点在教学中是有害的，因为它误人子弟！

本文来自诸平科学网博客。
链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-212210-1269914.html

对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑

杨六省

yangls728@163.com

笔者于2017-1-1在“数学中国论坛”上发过一个帖子，题目叫“质疑第一次数学危机的真相”。摘要中写道——“在推理前提——√2 =α：β（α，β互质）中，写入 ‘α，β互质’是不合理的，因为不相关，尤其是，它使得√2不是有理数的证明变为不可能。”这个观点此后没有变化，但在说理方面，笔者反复修订。现在，笔者终于能够做到应用反证法的定义来解释上述摘要中的观点了，真可谓“真传一句话（指反论题与原论题必须是矛盾判断关系，笔者加），假传万卷书（指“毕达哥拉斯学派证明了√2不是有理数”这一虚假的史实，为所有的数学书所认同，笔者加）”。

（1）把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题，是违反反证法基本要求的

关于反证法，一个基本的要求是——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”（摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条）。金岳霖主编的《形式逻辑》一书中也有类似的表述：“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。” 矛盾判断关系务必满足：原论题真则反论题假；反论题假则原论题真

“√2不是有理数”是原论题，其表达式√2=p/q（p和q不全是整数）；反论题是“√2是有理数”，其表达式应该是√2=p/q（p和q全是整数）。但是，人教版数学七年级下册第58页（以下简称人教书）是把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题。为了区别起见，我们把表达式√2=p/q（p，q互质）所代表的论题记作“反论题（新）”。下面我们将揭示，反论题（新）√2=p/q（p，q互质）与原论题√2=p/q（p和q不全是整数）并不构成矛盾判断关系。

“原论题真”是指，对于“√2=p/q”而言，“p和q不全是整数”成立。这时，谈论“p，q互质”的真假是没有意义的。也许有人会说，不妨把p，q互质没有意义“理解为假”。但问题是，在所有数学文献中，“互质”和“非互质”概念都是针对两个整数而定义的，我们不可以违反同一律，在同一个论证过程中，对“p，q互质为假”这一说法赋予相互矛盾的含义。因此，上述那个“理解为假”的主意是行不通的。于是，如果“原论题真则反论题（新）假”成立，则前件要求认可“p和q不全是整数”，后件则相反，矛盾，故“原论题真则反论题（新）假”不成立。

同理，“反论题（新）假则原论题真”也不成立。

上述分析说明，人教书（注：当然也包括其他文献）把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题，是违反反证法基本要求的，这样的做法是不被允许的，其证明自然不会是有效的。

（2）即使反论题的设定是正确的，但如果推理过程有错，那么，就无法保证推出的矛盾能够否定反论题，也就无法确立原论题为真

“√2不是有理数”是原论题，其表达式是√2=p/q（p和q不全是整数）。如果人们把√2=p/q（p和q全是整数）认作是反论题“√2是有理数”的表达式，这是正确的做法。但是，如果由√2=p/q（p和q全是整数）又推出了√2=p/q（p，q互质）和p，q都是偶数，这就走入歧途了。

当人们由√2=p/q（p和q全是整数）推出√2=p/q（p，q互质），很明显，是把p/q从√2=p/q中割裂开来，然后加上“p和q全是整数”这一条件进行推理的。如果这样做是合理的，那么，结论“p和q都是偶数”同样也应该由p/q和“p和q全是整数”这一条件推出，但这显然是不可能的！事实上，由人教书可知，“p和q都是偶数”之结论是根据√2=p/q（p和q全是整数）进行推理的。下面我们将揭示，由√2=p/q（p和q全是整数）既推不出√2=p/q（p，q互质），也推不出p和q都是偶数，理由如下：

①在“√2=p/q（p和q全是整数）”中，等式的左边是无理数√2，右边是一个分数表达式，所以，“√2=p/q（p和q全是整数）”是一个矛盾式。希尔伯特说，“如果一个概念具有矛盾的属性，那我就认为这概念在数学上不存在。”因此，表达式“√2=p/q（p和q全是整数）”不具有存在性。现今的人们都知道，√2具有客观存在性，再加上它又是我们所讨论的对象，所以，我们无疑的会认可√2在“√2=p/q（p和q全是整数）”中的存在性。这样说来，“√2=p/q（p和q全是整数）”之所以不存在，只是由于等式的右端不存在。试问，对于一个不具有存在性的东西，何以能够谈论分数的化简呢？还可以换一种说法，现今的人们都知道，对于“√2=p/q”而言，其中的p和q不可能全是整数，在这种情况下，谈论分数的化简有意义吗？因此，依据上述理由，由√2=p/q（p和q全是整数）是推不出√2=p/q（p，q互质）的（注：下文中“笔者的证明”与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，我们可以应用“√2不是有理数”这一结论进行论证）。

②由下文“笔者的证明”可知，由√2=p/q（p和q全是整数）是推不出p和q都是偶数的。

下面我们将揭示，由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，并不像人教书所说的，可以说明√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。理由是：由p和q都是偶数只能否定“√2=p/q（p，q互质）”，而不能否定“√2=p/q（p和q全是整数）”，因为p和q都是偶数与“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p和q全是整数”并不矛盾；而由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定，只能确立“√2=p/q（p，q非互质）”（——从而可以推出p和q全是整数，因为“非互质”概念是针对两个整数而定义的），而不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”，因为只有“√2=p/q（p，q非互质）”与“√2=p/q（p，q互质）”才是矛盾判断关系，而“√2=p/q（p和q不全是整数）”与“√2=p/q（p，q互质）”，如上文所述，并不构成矛盾判断关系。因此，由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定（注：姑且不论推理是否有效），并不能否定反论题“√2=p/q（p和q全是整数），并不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”为真，即并不能说明“√2不是有理数”。

附1：人教版数学七年级下册第58页中的证明：

假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

√2=p/q，

于是 p=√2q.

两边平方得 p²=2q².

由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

q²=2s².

所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

附2：笔者的证明

命题：对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。

证明：我们总可以把√2= p/q写成p²=2q²（q是整数）的形式。

① p不可能是偶数

假设p是偶数，设p=2r（r是整数）,代入p²=2q²,得q² =2r² 。如果p²=2q²（q是整数）中的p是偶数，那么，q² =2r²（r是整数）中的q也是偶数；……这样下去，就会推出p和q均含有无穷多个因数2（注：例如，关于p，开始假设p=2r；后面还会假设r=2t；……），从而说明p和q均不是整数，但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾，故对于p²=2q²（q是整数）而言，p不可能是偶数。