关于悬浮弹簧的理论分析

前段时间在人人网上看到一张关于悬浮弹簧的动态图片，图片中一人手拿一根弹簧的上端，让其竖直下垂，待其静止，然后释放弹簧上端。有意思的是弹簧上端往下运动而弹簧的下端保持静止，就像悬浮在空中，直到弹簧上端靠近弹簧下端时，整个弹簧才一起下落，见下图。http://fmn.rrimg.com/fmn066/20121205/1010/original_BYkb_481f00001bc0118c.gif（可点击查看）

这是一个很有意思的动力学现象，但是若要严格求解这个过程是非常困难的，我尝试了列出弹簧上不同微分区域内的质量随时间的演化遵循的微分方程，但由于弹簧各部分受力与相邻区域的位置之间有联系，导致求解这个微分方程异常困难。这时，做一些物理上的近似是有必要的。这里，作如下几点近似：

1.认为运动过程中弹簧的下端时静止的，上端在运动，整个弹簧的平均加速度等于弹簧上端密集部分的加速度和下部分疏松部分加速度的平均加速度。

2.弹簧运动过程中疏松部分的平均加速度为上端加速度的一半，这一点是基于疏松部分密度均匀，下端静止，速度在弹簧上线性分布这几点的，也是一个不严格的近似。

基于以上两点近似，这个问题就变得可解了。首先，弹簧整体在运动过程中的加速度应该为g，也就是平均加速度为g，那么如果我们能在“下端静止”的条件下使得平均加速度为g，也就实现了“下端静止”这一有趣的现象。下面展示计算过程。

其实，在我得到这样正确解之前，我还使用过一种方法分析过此问题，但是效果不佳。按照那种思路，可以把释放这件事情当做是一个“信号”，这个信号是以波的形式在弹簧上传送的，那么弹簧的上端一方面在重力作用下下落，另一方面这种疏密波又以波速往弹簧下端传播。这样，只要波的传播速度慢于弹簧上端在重力作用下的下落速度即可，按照这个模型我的分析是：在谐振子系统里面，描述谐振子运动快慢的不是速度，而是频率w=（k/m)^(1/2), 这个量描述谐振子系统振动一个来回的快慢， 就是从一个极端到另一个极端的快慢，可以认为谐振子是一个“信使”，在两个极端之间来回地传递信息。w越大，说明这个系统传递信息越快。 在这个现象中，弹簧上端释放，而下端迟迟“反应不过来”。这就说明，这个弹簧系统“传递信息”很慢，也就是它的w很小， w*T≈0（T是我们的观测时间，w是传递信息的速度，w*T也就是传递信息的量，w*T≈0就是说明在这一时间内传递的信息量很小，以至于上面已经释放， 经过了时间T，这一信息还没有传递至下端，下端显得很滞后，我们可以标志性的取T为1s，取为1s或者10s甚至其他常见的数字以秒为单位都是是合理的，因为这些时间尺度都是我们能感知的宏观时间尺度，它不是一纳秒，也不是一亿年，这就不影响我们最后得出的结论，这里我就取为1s，一下讨论都在 国际制单位下进行，字母字代表国际制单位下的数值，不带量纲），取T=1s，也就是w≈0，这就要求k/m≈0，也就是k<<m，k是弹簧的倔强系数，m是弹簧的 质量。设弹簧的原长为L0，设弹簧的线密度为a（线密度制单位长度内，弹簧的质量），设弹簧的弹性系数为b，有b=k*L0（b的物理意义是，单位原长的弹 簧弹力与其伸长量的比值），和m=a*L0，将其带入关系式k<<m，消去两边的L0，得到：b<<aL0，这也就是实现图中这一现象的物理条件---选择一个线密度 很大，而弹性系数很小的弹簧就可以近似实现这种“下端反应明显滞后”的现象。

现在看来，这种分析是不准确的，劲度系数应当是一个合适的数值，而不是劲度系数越小越好。

之前，按照后种分析，我自己做过尝试，因为找不到合适材料，我就以卡片纸代替了弹簧，因为卡片纸貌似能够满足后一条件，显然不能满足前一条件，这样得到结果不佳。

观看视频需要慢放，可以看到一点效果，但是不好，后期下端就不能稳住了。我相信如果按照第一个正确推导的条件mg=kL0，可以把这个实验做好，有兴趣的网友可以尝试做做。