物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑（七）

约翰·贝兹， 迈克·斯徳

2009年3月2日

2.7 共轭范畴

（译注：原标题为 Dagger Categories，这里意译为共轭范畴。）

我们的讨论会因不完整而相当可惜，如果我们不坦白一个关键的点：到目前为止我们用希尔伯特空间所做的一切都没有用到内积！因此，我们还没有触及量子理论的本质。

我们所说的关于Hilb的一切同样适用于Vect：有限维矢量空间和线性算符构成的范畴。Hilb和Vect都是紧对称幺半范畴。事实上，这些紧对称幺半范畴在某种确切的意义上是“等价的”。

那么，是什么让Hilb与众不同呢？就范畴论而言，特殊之处在于，对于有限维希尔伯特空间之间的任意线性算符f:X→Y，我们可以取它的希尔伯特空间伴随，得到算符f^†:Y→X。“反转”态射的能力使Hilb成为一种“共轭范畴”：

定义 18 共轭范畴是这样一个范畴C，对于C中的任意态射f:X→Y，存在一个指定的态射f^†:Y→X，使得对于所有可合成的态射对f与g：

(gf)^†= f^†g^†，

并且对于所有的态射f：

(f^†)^†=f。

等价地，共轭范畴就是配备了一个函子†:C→C^op的范畴，这一函子在对象上是恒同的，并对每个态射满足(f^†)^†=f。

事实上，所有我们钟爱的范畴实例都可以做成共轭范畴，除了Set：

• Set是无法做成共轭范畴的，因为存在从空集到单元素集的函数，但反过来没有。

• 范畴Hilb成为共轭范畴的方式如下。给定Hilb中的任意态射f:X→Y，存在f的希尔伯特空间伴随态射f^†:Y→X，使得：

<f^†ψ, ϕ>=<ψ,fϕ>

对所有ϕ∈X,ψ∈Y都成立。

• 对任意k，范畴Tang_k都可以成为共轭范畴，其中我们获得f^†:Y→X的方式是，在垂直方向上反演态射f:X→Y，接着转换标记弧和圆的定向的小箭头的方向。

• 对任意n，范畴nCob可编变成共轭范畴，其中我们获得f^†:Y→X的方式是，转换f:X→Y的输出和输入端，接着转换f的每一个连通组分的定向。再一次，一幅图胜过一千句话：

  在物理应用中，这一个共轭操作相当于“转换未来和过去”。

  在以上所有的共轭范畴中，共轭结构与幺半结构以及编织结构，如果它存在的话，以一种和谐的方式互动。可以写出一个公理列表来刻画这是如何运作的。因此，看起来“反转”态射的能力是具有量子倾向的范畴区别于集合与函数形成的范畴的又一方式。这对于量子理论基础以及拓扑量子场论具有重要的影响，并且在后者中共轭范畴看起来是涉及“具有对偶的n-范畴”的一个更大的框架下的一部分。然而，对这一框架的理解仍然很肤浅——还有大量的工作等着去完成。