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[讨论] Mathoverflow: 广义哥德巴赫猜想

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发表于 2017-2-14 12:20:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
A Generalization of Goldbach’s Conjecture : 2n=p+q,n≡p≡q≡a(mod m)

The Goldbach's conjecture is that ∀n∈N∗, ∃p,q∈P such that 2n=p+q.
I wonder if there are some generalization giving more information about the congruence satisfied by p,q, for example
Given m,a∈N,gcd(a,m)=1, for every n≡a(mod m) large enough, ∃p,q∈P such that 2n=p+q and p≡q≡a(mod m)
Is there some reference on this, and is it much harder than the original Goldbach's conjecture ?

http://mathoverflow.net/questions/252597/a-generalization-of-goldbach-s-conjecture-2n-pq-n-equiv-p-equiv-q-equiv
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 楼主| 发表于 2017-2-14 12:23:44 | 显示全部楼层
The Generalized Goldbach's Conjecture : Symmetry of Prime Number https://globaljournals.org/GJSFR_Volume14/3-The-Generalized-Goldbachs-Conjecture.pdf
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 楼主| 发表于 2017-2-14 12:31:14 | 显示全部楼层
哥德巴赫猜想:
在自然数列中,对于数列中的任一项n(n>3),至少有一对素数关于n对称,即:偶数2n可以表示为两个素数之和。
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 楼主| 发表于 2017-2-14 12:34:20 | 显示全部楼层
广义哥德巴赫猜想:
在首项a与公差m互素的等差数列中,对于数列中的任一项n(n>φ(m)m2),至少有一对素数关于n对称,即:偶数2n可以表示为该数列中的两个素数之和。
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 楼主| 发表于 2017-2-14 12:41:49 | 显示全部楼层
在自然数列和首项a与公差m互素的等差数列中,素数的对称性不变。
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 楼主| 发表于 2017-2-14 12:45:08 | 显示全部楼层
例:形如2+5k的偶数n(n〉200)都可以表示为形如1+5k的二个素数之和。
       形如1+5k的偶数n(n〉200)都可以表示为形如3+5k的二个素数之和。
       且其表法数约为其哥猜(1+1)表法数的1/3.
202=11+191=71+131=101+101,表法数为5.偶数202哥猜(1+1)表法数为17.
206=13+193=43+163=103+103,表法数为5.偶数206哥猜(1+1)表法数为15.
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 楼主| 发表于 2017-2-14 12:47:32 | 显示全部楼层
例:形如2+3k的偶数n(n〉18)都可以表示为形如1+3k的二个素数之和。
       形如1+3k的偶数n(n〉18)都可以表示为形如2+3k的二个素数之和。
       且其表法数即其哥猜(1+1)表法数,不含(3+素数)。
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 楼主| 发表于 2017-2-14 12:50:14 | 显示全部楼层
例:形如2+4k的偶数n(n〉32)都可以表示为形如1+4k的二个素数之和。
       形如2+4k的偶数n(n〉32)都可以表示为形如3+4k的二个素数之和。
       且其表法数约为其哥猜(1+1)表法数的1/2.
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 楼主| 发表于 2017-2-14 12:54:42 | 显示全部楼层
例:形如2+2k的偶数n(n〉4)都可以表示为形如1+2k的二个素数之和。
       且其表法数即其哥猜(1+1)表法数.
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 楼主| 发表于 2017-2-14 12:57:11 | 显示全部楼层
素数的分布,是随机性和伪随机性的统一。
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发表于 2017-2-15 09:19:24 | 显示全部楼层
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素数的分布是有规律的,而这个规律非常复杂,它只能通过合数式来表示。不过到目前为止,人们还没有找到一个完整表示素数分布规律的表达式。
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 楼主| 发表于 2017-2-17 17:53:05 | 显示全部楼层
欧拉φ函数:φ(n)=n∏(1-1/p),p为素数,p|n.

Y函数:Y(n)=n∏(1-2/p),p>2,p为素数,p|n.
Y函数的含义?
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 楼主| 发表于 2017-2-18 19:08:40 | 显示全部楼层
如果n是奇数,
Y函数:Y(n)=n∏(1-2/p),p>2,p为素数,p|n.
如:
n=5,Y(n)=n∏(1-2/p)=3
n=15,Y(n)=n∏(1-2/p)=3
n=105,Y(n)=n∏(1-2/p)=15
如果n是奇数的2倍,n=2q(q是奇数),
Y函数:Y(n)=q∏(1-2/p),p>2,p为素数,p|n.
如:
n=10,Y(n)=q∏(1-2/p)=3
n=30,Y(n)=q∏(1-2/p)=3
n=210,Y(n)=q∏(1-2/p)=15

结论:n=2ᴷq(q是奇数),
Y函数:Y(n)=φ(2ᴷ)q∏(1-2/p),p>2,p为素数,p|n,φ(2ᴷ)是2ᴷ的欧拉函数。
如:
n=20,Y(n)=φ(2ᴷ)q∏(1-2/p)=6
n=60,Y(n)=φ(2ᴷ)q∏(1-2/p)=6
n=420,Y(n)=φ(2ᴷ)q∏(1-2/p)=30
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 楼主| 发表于 2017-2-18 19:14:21 | 显示全部楼层
若n=∏p(p≥2)
如:
n=210,Y(n)=q∏(1-2/p)=15,
表示不超过210与3,5,7互素且不能表示为2+3k,2+5k,2+7k的奇数个数为15。
1,13,19,31,43,61,73,103,109,139,151,169,181,193,199

既表示不超过212与3,5,7互素的奇数对数目15对。
(11,13)(17,19)(29,31)(41,43)(59,61)(71,73)(101,103)(107,109)(137,139)(149,151)(167,169)(179,181)(191,193)(197,199)(209,211)
也表示:偶数212表示为与3,5,7互素的两个奇数之和的表示数为15(不包括211)。
(1,211)(13,199)(19,193)(31,181)(43,169)(61,151)(73,139)(103,109)
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 楼主| 发表于 2017-3-6 10:36:45 | 显示全部楼层
一个数论界无法回避的难题!
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 楼主| 发表于 2017-5-4 21:07:46 | 显示全部楼层
@Terry Tao:Ben Green and Terrence Tao proved that there are arbitrary length arithmetic progressions among the primes. Does the prime number have symmetry in such arithmetic progressions?
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