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科学网 群组 数学科学 勾股数组的新计算方法
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[原创] 勾股数组的新计算方法

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发表于 2017-3-18 17:59 |显示全部帖子
本帖最后由 y2zfu 于 2017-3-18 18:11 编辑

对于任意三个正整数x、y、z,如果满足x^2+y^2=z^2,那么xyz可以通过下面方程组求得:

x=m
y=(m^2/k-k)/2
z=(m^2/k+k)/2

由于xyz都是正整数,因此m和k必须满足如下条件:

① m为大于2的整数;
② k为m^2的因子;
③ k<m;
④ k与m^2/k的奇偶性必须相同。

如果规定k<(√2-1)m,那么x<y,也就是说x为最小值,这样可以避免数据重复。

经验证,上式是成立的。只要确定了一个符合条件的自然数m和因子k,就能计算出一组勾股数。

由上述方程组,我们还能得出如下推论:

推论一:
对于任意大于2的奇数m,必然存在两个连续的自然数能与m组成勾股数组。这两个数就是(m^2-1)/2和(m^2+1)/2。

如:3^2+4^2=5^2;5^2+12^2=13^2;7^2+24^2=25^2;9^2+40^2=41^2 ……

推论二:
对于任意大于3的偶数m,必然存在两个连续的奇数或连续的偶数能与m组成勾股数组。这两个数是m^2/4±1。

如:6^2+8^2=10^2;8^2+15^2=17^2;10^2+24^2=26^2;12^2+35^2=37^2;……

推论三:
一个正整数所能参与的勾股数组的个数与这个数的因子个数是有关系的,质数只能参与一组勾股数。

对于奇数而言相对简单一点,m^2含有多少个小于m的因子就能参与多少组勾股数。
对于偶数来讲,由于条件④限定了k与m^2/k的奇偶性必须相同,如果m含有n个2,则k必须含有少于n^2个2。当然k<m也要满足。

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发表于 2017-3-19 17:09 |显示全部帖子
更正一下,我当时没有考虑到m作为最大值的情况,推论三需要修改,后半句应该是:质数可以参与一组或两组勾股数。

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发表于 2017-3-19 17:13 |显示全部帖子
帖子里那个&sub2;就是平方,我发帖的时候都改过来的,不知为什么现在打开还是不行。
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