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[原创] 如何用转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动方程?

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发表于 2017-6-5 21:17:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
如何用转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动方程?


【导言】刚体力学在处理自旋、转动等物体运动现象时是用转动惯量、力矩等非质点概念来描述的,但这种描述似乎与牛顿力学质点思想不相融,而且运用这种方法论在揭示陀螺运动形成物理机制问题时显得“力不从心”,在解决像行星进动、量子自旋等诸多现代物理学问题时则表现出了“无奈”——其实,研究刚体“自旋+进动”问题用牛顿质点思想要比用转动惯量、力矩等非质点概念要方便、优越得多。
那么,我们如何才能在不违背刚体力学理论原理情况下,将陀螺运动、行星进动、量子自旋等问题的研究融入到牛顿质点力学中去呢?......

如何用转动量、转动能守恒推导陀螺定点进动方程?
司 今(jiewaimuyu@126.com)

摘 要 :刚体力学在处理自旋、转动等物体运动现象时是用转动惯量、力矩等非质点概念来描述的,但这种描述似乎与牛顿力学质点思想不相融,而且运用这种方法论在揭示陀螺运动形成物理机制问题时显得“力不从心”,在解决像行星进动、量子自旋等诸多现代物理学问题时则表现出了“无奈”——其实,研究刚体“自旋+进动”问题用牛顿质点思想要比用转动惯量、力矩等非质点概念要方便、优越得多。
那么,我们如何才能在不违背刚体力学理论原理情况下,将陀螺运动、行星进动、量子自旋等问题的研究融入到牛顿质点力学中去呢?本文正是基于这种思路提出了一个将物体自旋与转动进行质点化描述的“新方法”,并在这种方法论指导下讨论了陀螺进动变化中的诸多问题及陀螺进动方程的物理意义。
关键词:质点 自旋 力矩 角速度 转动惯量 转动能转动量守恒
中图分类号: 0441 文献标识码:A
0、引言
在牛顿质点力学中,一个没有自旋的刚体作平面运动时遵守平动动能、动量守恒,即
对一个有自旋和平动的刚体而言,它作平面平行运动时也遵守动能、动量守恒,即
.但因Ic是一个与空间r有关的量,这说明对于mv项可以用质点描述,对mIc项就没有办法用质点描述。
正因如此,现代物理学在处理自旋、转动等物体运动现象时仍沿用转动惯量、力矩等非质点概念来描述,但这种描述似乎与牛顿力学质点思想不相融洽,也无法在质点概念下讨论陀螺运动、行星进动、量子自旋等诸多现代物理学问题。
为此,我们提出了一种“新方法”,它能够将陀螺运动、行星进动、量子自旋等诸多物理学问题的研究融入到牛顿质点力学体系中去。
1、从动能、动量和力矩的物理含义说起
对无自旋的平动物体而言,动量就是使物体产生运动变化的物理量,它与牛顿力学中的力概念相对应,即F=mdv/dt;动能就是物体运动时所得到的能量,通常被定义成使某物体从静止状态至运动状态所做的功,即E=mv2/2;力矩是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向,它等于径向矢量与作用力的叉积,即M=F×r.
如果要让一个静止物体运动,就必须对它施加力,施力大小可以用其动量随时间的变化率来度量,这个力对物体所做的功可以用动能来衡量;对一个静止物体而言,如果我们要让它产生转动,现代物理学则用力矩来描述——这就存在一个困惑:
使静态物体产生平动可以用质点的动量、动能来定义,为什么使静态物体产生转动要用非质点性的力矩来描述呢?难道物体由静止到转动不是一种受力运动?它不需要施加能量?如果需要,那么,我们该如何也用牛顿质点概念去描述这种受力和能量变化呢?
牛顿力概念是建立在F∥r(v)之上的,且是瞬时的;力矩是建立在F⊥r之上的,对于一个有空间r存在的转动刚体而言,转动轴外组成刚体的质点转动速度为v=ωr,即ω=v/r,因刚体组成质点的转动角速度与轴转动角速度是相同的,当r→0时,则有v→0,但ω≠0,这说明转动轴上的点可以看做是一个r→0的自旋质点,也就是说,当最基本粒子可以看做是自旋质点时,它的自旋性就与空间无关,其自旋角速度ω则是它处于转动状态下与生俱来的“固有”属性;旋转线速度v只是“寄生”在自旋角速度ω概念下,对空间线性转动状态的非本质性描述,这与特斯拉在他的《引力的动态理论》中对速度的看法是一致。
现代物理学将转动刚体组成质点所受的力描述为F=mdv/dt,将质点组的角速度与合外力矩的关系描述为:
这里,k是转动惯量系数,J是角动量。
显然,这种描述不能真正体现刚体转动时组成刚体的各质点所具有相同角速度ω这一物理本质,因此,用它来描述刚体转动就存在一定弊端,按此思路就不可能真正厘清质点自旋概念的物理本质属性,也无法从根本上解决像“电子自旋面速度超光速”这类问题……
总之,用转动惯量Ic和速度v思想来研究自旋或旋转运动就必定摆脱不了物体组成空间r因素的影响,也不能从根本上解决质点自旋的动力学问题,更无法看清“自旋生磁”效应的物理本质;研究物体或质点自旋及磁性起源问题须另辟途径,关于这方面探讨请参阅司今《物质自旋与力的形成》和《磁子论》等文。
2、刚体定义目的与转动惯量的物理属性
我们对刚体定义的目的是为了确立与牛顿质点概念相衔接,如图-1所示,对平动刚体而言,其内每个组成质点运动状态都与刚体质心点的运动状态相同,这样就可用刚体质心点c的平动速度来表示整个刚体的运动速度,由此给出质心概念下的刚体平动动量与动能描述公式:
从这二个公式中可以看出,组成刚体的每个质点的运动速度都相等,且整个刚体的m、v、P、E量的大小都与刚体组成的空间大小无关。

图-1 刚体平动

对自旋或转动刚体而言,现代物理学是用转动惯量Ic来描述的,即它们的转动量、转动能的描述公式是:
但Ic是一个与刚体组成空间大小有关的物理量,从这个意义上讲,它与牛顿质点力学思想的衔接是不够充分的,那么,我们该如何像描述刚体平动那样,用刚体的质点性来描述刚体转动或自旋呢?
为此,我们首先必须找出组成刚体的质点组在刚体转动时有没有一个相同且大小不变的物理量?

图-2 刚体转动

如图-2所示,我们留心一下可以发现:组成刚体的每个质点绕确定轴转动时,它们的转动角速度ω都是一样的,那么我们就可以用任意质点(包括刚体质心点)的转动角速度来代表整个刚体转动的物理属性,这样就会得出一个关于质点转动的物理量Pi=mi.ω,我们把这个量定义为组成刚体任意质点的转动量,并由此可以得出整个刚体绕某固定轴转动时的质心转动量为P=∑mi.ω或P=mω.
同样,我们也会得出另一个旋转量E=∑mi.ω2或E=mω2,将它定义为刚体质心绕某固定轴转动的转动能;这样,我们用这二个量来描述刚体的旋转或自旋运动就能够与牛顿质点思想完全相衔接了,且不与刚体力学基本原理相违背。
3、用转动量、转动能守恒推导陀螺进动方程
陀螺进动是一种复合运动,如图-3所示,它包含了刚体自旋与进动二种运动形式。

图-3

依据我们给出的转动量、转动能定义,就可以将这个运动的总转动量、总转动能表示为:
这就是我们利用总转动量与转动能守恒推导出的陀螺进动方程的描述形式,它与目前用矢量叉积或欧拉刚体理论推导出的陀螺进动方程Ωω=gl/r2的物理含义是相一致的,即都揭示了陀螺定点进动时Ω×ω是常量这一物理本质。
然而,仔细比较可以发现,这二种陀螺进动方程表达式所揭示的物理含义却不同:教科书阐明的是陀螺进动时其自旋角动量变化率与其质心重力矩是相等的,而我们这里所揭示的是陀螺进动时其总转动量、转动能是守恒的(详情可参阅司今《如何用矢量叉积推导陀螺进动方程?这种推导存在什么缺陷?》一文)。
4、从陀螺进动方程看转动量、转动能守恒的物理意义
通过上述推导可见,陀螺进动方程的物理含义是“陀螺进动是一种遵守转动量、转动能守恒的运动”,为了真正看清和理解这二个守恒在陀螺进动研究的重要意义,我们将从θ、ω、Ω、g之间的变化关系方面作进一步探述。
4.1、陀螺进动变化中θ与ω、Ω之间的关系
如图-4-1所示,在一个摩擦平面上进动着的陀螺,因其自旋轴下端与平面有摩擦力作用,它的进动轴就会随时间变化而产生逐渐向下倾斜的章角θ;由于陀螺轴支撑端点所受摩擦力作用是一个连续过程,从时间连续角度看,其进动章角θ的变化就可以用球坐标描述成一个连续的球面螺旋运动曲线。

图-4

如图4-2所示,对一个在t₁时刻进动着的陀螺,由于支撑轴端受摩擦力作用,它在t₂时刻就会形成另一种进动状态,即摩擦力会使陀螺自旋角速度ω变慢;假设陀螺自旋轴端的摩擦力不产生热量变化,依据陀螺进动变化遵守转动量、转动能守恒,则它的进动角速度Ω就必然会加快,即进动线速度v增大。
因M=dJ/dt ,故有M1<M2,
因M=mglsinθ,故有θ₁<θ₂.
由此可见,ω、Ω在Ωω=k常量守恒下的转化必然会引起θ变化,但θ变化并不影响Ωω=k守恒性的存在。
此实验还说明:陀螺进动章角θ的变化会使进动平面r随θ变化而变化,但它在变化中的进动轴线不会发生偏移,因此,章角θ变化可以看作是陀螺质量在空间平面r上再次被分配,对这种分配变化可以用进动平面密度ρ(t)=m/S(t)变化来予以描述,这种描述将会与场密度联系在一起。
不过,这里要注意m是一个不变量,且这个不变量与场物理学中的高斯定理“荷”不变思想是一致的,它对理解目前的场物理学理论和我们的“自旋场理论”将有重要的启示意义。
4.2、陀螺进动中Ω与ω之间的转化关系
陀螺进动中章角θ变化虽不能改变Ωω=k的守恒性,但却可以分别改变Ω或ω的大小,这说明θ变化与Ω、ω之间相互转化是紧密相连的,更进一步讲就是陀螺自旋轴端所受的外力矩可以改变Ω、ω值大小,却不能改变Ω×ω值大小,即陀螺在进动变化中总是遵守转动量、转动能守恒。
如图-5所示,一个垂直自旋着的陀螺,当对其自旋轴上端施加外力矩时,它会产生章角为θ的进动,进动速度为v,且陀螺自旋速度与垂直状态下的自旋角速度相比会减小;如果继续施加外力矩,则章角θ随之增大,进动角速度Ω也会增大,自旋角速度ω则随之减小。

图-5

当θ→π/2时,则自旋角速度ω→ω∥、Ω→Ω∥,整个变化就可以用公式描述:
反过来讲,对一个以自旋轴下端点作圆心0、以质心到自旋轴下端为半径R作圆周运动的滚动陀螺而言,当我们施加外力矩使其逐渐站起时,则这个陀螺的自旋角速度ω就会逐渐增大,其作圆周进动的角速度Ω则会逐渐减小。
4.3、g变化对陀螺进动中θ、ω、Ω的影响
从陀螺进动方程Ωω=gl/r2中可以看出,影响陀螺进动系统变化的因素有Ω、ω、g等,其中,起关键作用的是g,它是因变量,Ω、ω则是应变量。但我们平时研究的陀螺进动都是将g看做是常量来对待,故从没有去考虑g变化对陀螺进动的影响。
在场物理学中,如,讨论宏观自旋天体与微观自旋粒子运动时,引力场g经常会作为变量形式出现,这时它就会对带有“自旋磁矩”的宏观天体或微观粒子的自旋轴方向产生力矩作用而影响其章角θ变化,但这种g变引起的θ变并不会改变“Ωω=常量”这一守恒性。
g变化对陀螺进动影响的本质是与“增加或减小”外力矩作用的效果相一致的,对此,我们可以用万有引力场的梯度性在地球表面不同高度做“对比实验”来加以验证。
如图-6所示,在地平面1处的进动陀螺,当它被放到平面2处时,因g₁>g₂,就有θ₂<θ₁、ω₂>ω₁、Ω₂<Ω₁的进动状态差异变化。

图-6 地球上不同高度对陀螺进动状态的影响

我们也可以做一个场变化“模拟实验”来说明 g变化对陀螺进动中章角θ变化的影响及验证“Ωω=常量”的结论是否正确?
如图-7所示,自旋为ω0状态下的磁球陀螺,其组成结构如图-6左所示,让它以ω₁状态下保持稳定进动;当我们改变支撑体导线电流I大小时,就会发现磁陀螺进动的章角θ也会发生变化,如:I增大,则θ、R变大,这时有v、Ω增大,ω减小;反之也然。这说明磁陀螺进动章角θ变化是与Ω、ω间相互转换能力大小相对应的,且这种相互转换并不影响陀螺进动中总转动能、总转动量的守恒性。

图-7 引力场变化对陀螺进动状态的影响

但要注意,在陀螺进动变化中角动量J=mvR并不守恒,因角动量守恒只适用于不受外力矩作用的情况;而这里P=mω与R之积P(r)=mωR却是一个守恒量,我们称P(r)为陀螺进动的自旋转动量矩,这种守恒适用于陀螺进动中受到外力矩不为0的影响变化情况,且这个守恒是与Ω×ω守恒相对应的。
此实验说明,在引力场中,引力场g的变化可以改变陀螺进动时的章角θ大小,且在这种变化中陀螺进动的总转动量、总转动能仍保持守恒,但其所表现的进动动量mv、动能mv2/2却是变化的。
由此可见,外力矩作用或引力场g变化均可引起ω、Ω间在守恒下相互转换,即在θ₁状态下有R₁、ω₁、Ω₁、v₁,在θ₂状态下有R₂、ω₂、Ω₂、v₂,如果将这二个进动系统的动量、动能、转动量、转动能进行比较,则有:

5、结束语
我们从质点概念出发,找出了组成刚体的各质点具有转动角速度相同的共性,从而定义出了转动量P=mω、转动能E=mω2的物理意义,并用它们的守恒性探讨了陀螺进动形成的物理机制和陀螺进动方程的物理意义问题。
通过这种探讨,我们发现用质点思想研究陀螺运动不但撇开了陀螺自旋、进动与空间因素r(陀螺自旋半径)、R(陀螺进动半径)的“纠缠”, 而且还将陀螺运动的研究真正融入到牛顿质点力学中去,从而为从物理机制上揭开陀螺进动之谜打开了一扇“质点”之窗,为陀螺、特别是磁陀螺的研究提供了一个“新思路”;同时,也为今后探索自旋磁性起源及带有自旋磁矩的“类陀螺”运动研究插上了“经典”翅膀——天体物理学、量子力学也将因此会找到“回家”的路!
——对此观点实验验证与理论阐述敬请参阅司今《磁陀螺运动与现代物理学》系列实验与论述的相关文章。

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