图（a）兰色是sin2t，整周期采样，红色是sin2.3t,非整周期采样。

图（b）红色是sin2.3t经过2阶全相位处理后的波形，它变成2个整周期的信号，但和兰色sin2t波形有差別。

图（c）红色是sin2.3t经过4阶全相位处理后的波形，它和兰色sin2t几乎完全相同了。

整周期采样频率k振幅1正弦信号的FFT振幅谱F是频率k处为1，其它频率点为0。K点相位谱值是N序列第一个采样的相位。
非整周期采样这个正弦信号的FFT振幅谱F是频率k处小於1，其它频率奌不为0。k点相位谱值不等於初相位。

全相位予处理是(2N-1)正弦信号乘两个长N线性卷积窗后,移N位相加产生长N的序列。再作FFT称apfft。其振幅谱是F 的平方，k点相位谱值是（2N-1)序列中奌采样的相位。
如果（2N-1)正弦信号是整周期采样，则全相位予处理后产生的长N序列是整周期采样。

如果（2N-1)正弦信号是非整周期信号，则全相位处理后产生的长N序列近似周期信号。
近似度取决於偏离整数的程度和全相位予处理的阶数。离0.5越远，全相位予处理阶数越高，近似度越好。

4阶全相位予处理是（4N-3)正弦信号乘4个长N线性卷积窗后，分4段移位相加产生长N的序列，其FFT振幅譜是F的4次方，k点相位谱值是（4N-3)序列中奌采样的相位。
n阶全相位予处理是（NM-M-1)采样乘M个长N线性卷积窗,分M段移位相加产生长N的序列,其FFT振幅谱是F 的M次方,当M偶数时其相位谱值为原(NM-M-1)序列中点的相位。

非整周期取样时全相位予处理和一般加窗处理的区别是
加窗消除了端点的不连续性，但仍是非整周期取样，且起始样点相位移动，引起FFT频谱泄漏和相位谱值不等於初相位。
非整周期采样正弦信号经全相位予处理后序列信号也消除了端点的不连续性，且恢度成近似整周期信号。序列的初相位也不变。 所从apFFT泄漏小，相位不变。

全相位予处理不但可用於FFT，还可应用於数字信号的许多其它方面。
数字IO正交解调时，要求信号是整周期取样，非整周期取样信号会引起测量误差。
数字Herbert变換时，要求信号是整周期望取样，信号经Herbert变換后相位才转90度。非整周期信号经Herbert变換会引起失真。
数字信号作自相关互相关处理时，要求信号是整周期取样。
几乎所有的数字电子产品设备，都要求信号是周期采样信号。都有频率稳定措施以保证采样频率稳定性。
所以全相位处理可以应用於数字信号处理和数字产品的許多方面。

证明：

（a）整周期釆样的余弦信号2*cos(2*pi*t/N)的fft频谱是一条k=2处峰值1谱线。

Apfft时，仍是一条k=2处峰值1。

4cfft时，仍是一条k=2处峰值1。

（b）非整周期釆样的余弦信号2*cos(2.3*pi*t/N)的fft频谱:k=2处峰值小於1(约0.8)。在K＝3处有约0.3的值。在K＝2处峰值比0.8/0.3

Apfft时，k=2处峰值0.64。在K＝3处有约0.09的值，峰值比0.64/0.09。k=2处峰值比加大，近周期信号sin(2*pi*t/N)

4cfft时，k=2处峰值0.36。在K＝3处有约0.008的值，峰值比0.36/0.008。k=2处峰值更大，更近周期信号sin(2*pi*t/N)

（c）非整周期釆样的余弦信号2*cos(2.7*pi*t/N)的fft频谱:k=3处峰值小於1(约0.8)。在K＝2处有约0.3的值。在K＝3处峰值比0.8/0.3

Apfft时，k=3处峰值0.64。在K＝2处有约0.09的值,峰值比0.64/0.09。k=3处峰值比加大，近周期信号sin(3*pi*t/N)

4cfft时，k=3处峰值0.36。在K＝2处有约0.008的值,峰值比0.36/0.008。k=3处峰值比更大，更近周期信号sin(3*pi*t/N)。髙阶全相位处理更近周期信号。

所以全相位处理能够将非整周期釆样的正弦信号变成同频（小数4舍5入）近整周期采样信号，还保持初相位不变。处理后N序列的初相位等于处理前(2N-1)序列中间点的相位。

对任意频率，任意频偏的三角函数信号，都有同样的效果。如下图sin5.7t变成sin6t

所以全相位处理能够将非整周期釆样的正弦信号变成同频（小数4舍5入）整周期采样信号，髙阶全相位处理效果更好。

这就是apfft为什么在非周期采样时有好的性能的原因。

三角函数的正交性只有在整周期截断时才成立,非整周期采样时正交性不成立.

非整周期采样三角函数经过全相位处理后变成(近似)整周期采样,逼近正交性.如果使用高阶全相位预处理,变成更近似整周期采样,更逼近正交性.

全相位预处理是通过对数据加线性卷积窗,移位相加变成循环卷积窗数据.

二阶移位循环卷积窗处理是通过对2N-1数据加二阶线性卷积窗,补一个零经一次移位相加后产生的N阶数据, 称2阶移位循环卷积窗数据(ap数据).再作fft,称apfft(图1).

                            图1    二阶移位循环卷积窗预处理信号apfft

四阶移位循环卷积窗处理是通过对4N-3数据加4四阶线性卷积窗,补三个零经三次移位相加后产生的N阶数据, 称4阶移位循环卷积窗数据(4ap数据).再作fft,简称4cfft(图2).

                                         图2      四阶移位循环卷积窗预处理信号4cfft

N阶移位循环卷积窗处理是通过对N*(N-1)数据加N阶线性卷积窗,补(N-1）个零经N次移位相加后产生的N阶数据后作fft, 称N阶移位循环卷积窗数据.(Nap数据)再fft简称ncfft(图2).

下图3显示非整周期采样正弦函数经过全相位预处理后变成(近似)整周期采样,

            图3   两种全相位预处理非整周期采样正弦函数正交性的波形

图3(a)fft信号中红色是非整周期采样f=2.3正弦函数波形. 对照图3(a)兰色是整周期采样f=2.正弦函数波形,末处理信号是非整周期采样.

图3(b)apfft信号中红色是经过apfft预处理后非整周期采样f=2.3正弦函数波形.对照图3(b)兰色整周期采样f=2.正弦函数波形. apfft处理信号近似於整周期采样.

图3(c)4cfft信号中红色是经过4cfft预处理后非整周期采样f=2.3正弦函数波形.对照图3(c)兰色整周期采样f=2.正弦函数波形. 4cfft处理信号更逼近整周期采样.

所以全相位预处理将非整周期采样三角函数整周期化效果很清楚,4阶移位循环卷积窗4cfft比2阶移位循环卷积窗apfft整周期化效果更好

如果用更高阶移位循环卷积窗逼近程度更好.这说明全相位处理非整数采样正弦函数正交性是一种有效的有趣的方法.正弦函数的正交性在非周期采样时仍可逼近成立。其数学上和应用上的意义须进一步探索.

若采样频率对exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号整周期采样,N个采样相加等于零,

若对exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号非整周期采样，N个采样和振幅等于sinc(pi*m),这是数字滤波中数据泄露,信号正交性和整周期性破坏

若2阶全相位处理ap_exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号非整周期采样，N个采样和振幅等于sinc(pi*m)^2,数字滤波中数据泄露平方减小

若4阶全相位处理ap_exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号非整周期采样，N个采样和振幅等于sinc(pi*m)^4,数字滤波中数据泄露4次方减小

若8阶全相位处理ap_exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号非整周期采样，N个采样和振幅等于sinc(pi*m)^8,数字滤波中数据泄露8次方减小

若16阶全相位处理ap_exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号非整周期采样，N个采样和振幅等于sinc(pi*m)^16,数字滤波中数据泄露16次方减小

全相位予处理+fft      apFFT    王兆华, 候正信, 苏  飞. 全相位FFT频谱分析[J].通信学报, 2003-11A

全相位予处理+数字IQ   apDIQ    任德柱,邵高平,程娟. MIT中的一种基于全相位的正交相位解调算法[J]. 信息工程大学学报.2014-04

杜梦园,赵宏钟,贠龄童. 基于apFFT的I/Q通道幅相误差校正算法[J].无线电工程,2019年04期   

全相位予处理+互相关   apDR     全相位数字相关相位测量法apDR   振动论坛zhwang554博文

全相位予处理+HHT      apHHT    周  云, 李世平, 罗  鹏, 等. 基于全相位 HHT 的瞬时频率测量[J]. 计量学报, 2012, 33(003): 266-271.

全相位予处理+LMD      apLMD    屈红伟. 基于LMD的故障特征提取方法及动平衡技术研究[D]. 北京化工大学,2015,硕士

全相位予处理+Welch  ap-Welch 王文先,刘合朋,钟正虎.基于ap-Welch的随机角振动信号的频谱估计方法研究[J].导航与控制 , 2017 , 16 (4)

全相位予处理+CZT       apCZT

Xing K, Hao K, Li M. A New Approach to Dense Spectrum Analysis ofInfrasonic Signals[C]//International Conference of Pioneering ComputerScientists, Engineers and Educators. Springer, Singapore, 2017: 134-143.

全相位予处理+CBF.    APCBF

郑恩明，陈新华，宋春楠.基于全相位予处理的低旁辨波束形成方法.兵工学报，2018,vol.39,No.10,1970-1978

全相位予处理十PMF-FFT.       PMF-apFFT/FFT

王云静，張晓林，郑昱.一种基于全相位予处理的PMF-FFT改进祘法.遙测遙控，2018，第3期

全相位予处理十Hilbert

杨辉跃,涂亚庆,毛育文.科氏流量计相位差估计的ap-Hilbert法[J].仪器仪表学报,2019-01-15    

屈红伟的论文P23提到

通过研究这种预处理的方式的性质,发现虽然实际信号包含了多种频率成分,且相互间会引起谱间干扰,而经全相位预处理后各主频的旁谱泄漏会减少,在全相位FFT分析时,能改善频谱特性;并且提出了apFFT(全相位FFT)的分析方法,在理论和实际中都得到了验证。轴承故障诊断是通过频率成分来实现的,换句话说,只要不改变信号的有用频率成分,在信号分析的过程中就可以应用。全相位预处理不改变信号的主频成分,因此全相位预处理适在轴承诊断中

全相位预处理数据.其物理意义是全部 N个不同起始相位的长N的数据.对中间采样移位相加产生的N阶数据(图1)

N个不同起始相位的长N的数据的DFT振幅谱是相同的,相位谱不同

数据移位后的DFT振幅谱是相同的,引起一个相移

使用apfft会发现,为什么措施简单的全相位预处理能克服DFT的二个缺陷,泄漏和相移.原因是全相位预处理将非整周期采样数据恢复整周期,这样正交性恢复了

它在采样周期内的积分为另

它和另一个整周期截断的正弦函数相乘产生另一个整周期截断的正弦函数,这个新的正弦函数在采样周期内的积分为另

在频谱分析.求相位;解调调频调幅信号中经常用到上述正交性. 非整周期采样数据破坏了正交性,在处理信号时就会出现误差.经过全相位预处理后恢复正交性,在处理信号时误差就会减小

生成上图3的程序如下:

clc;clear;clf;close all;

N=32;f=2.3;p0=0;

win=ones(1,N);

win1=win/sum(win);

t=0:N-1;

s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);

s=s.*win1;

subplot(311),plot(s/max(s),'r.-'),grid

hold on

t=0:N-1;

s=sin(pi*2*t*2/N+p0*pi/180);

s=s.*win1;

subplot(311),plot(s/max(s),'b.-');ylim([-1,1]);xlim([1,N])

title('(a) fft signal')

legend('f=2.3','f=2');

win2=conv(win,win);

win2=win2/sum(win2);

t=-N+1:N-1;

s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);

s1=s.*win2;

sa=s1(N:end)+[0 s1(1:N-1)];

subplot(312),plot(sa/max(sa),'r.-'),grid;xlim([1,N])

hold on

t=-N+1:N-1;

s=sin(pi*2*t*2/N+p0*pi/180);

s1=s.*win2;

sa=s1(N:end)+[0 s1(1:N-1)];

subplot(312),plot(sa/max(sa),'b.-')

title('(b) apfft signal')

legend('f=2.3','f=2');

t=-2*N+2:2*N-2;

s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);

win2=conv(win,win);

win4=conv(win2,win2);

win4=win4/sum(win4);

s2=s(1:4*N-3);

s22=s2.*win4;

sb=[0 0 s22(1:N-2)]+s22(N-1:2*N-2)+s22(2*N-1:3*N-2)+[s22(3*N-1:4*N-3) 0];

subplot(313),plot(sb/max(sb),'r.-'),grid;xlim([1,N])

hold on

t=-2*N+2:2*N-2;

s=sin(pi*2*t*2/N+p0*pi/180);

s2=s(1:4*N-3);

s22=s2.*win4;

sb=[0 0 s22(1:N-2)]+s22(N-1:2*N-2)+s22(2*N-1:3*N-2)+[s22(3*N-1:4*N-3) 0];

subplot(313),plot(sb/max(sb),'b.-')

title('(c) 4cfft signal')

legend('f=2.3','f=2');

非整周期采样正弦函数 sin(n.m)

if m<0.5        ap[sin(n.m)]=sin(n)

if m>0.5        ap[sin(n.m)]=sin(n+1)

xap    2ap      4ap       8ap       16ap

n.m    2.2       2.3         2.4         2.44

                        图5  5种全相位预处理非整周期采样正弦函数正交性的波形

图5(a)orignal信号中红色是非整周期采样f=2.44正弦函数波形. 对照图5(a)兰色是整周期采样f=2正弦函数波形,末处理信号是非整周期采样.

图5(b)2ap处理信号中红色是经过2ap预处理后非整周期采样f=2.44正弦函数波形.对照图5(b)兰色整周期采样f=2正弦函数波形. 2ap处理信号近似於整周期采样.

图5(c)4ap处理信号中红色是经过4ap预处理后非整周期采样f=2.44正弦函数波形.对照图5(c)兰色整周期采样f=2正弦函数波形. 4ap处理信号更逼近整周期采样.

图5(d)8ap处理信号中红色是经过8ap预处理后非整周期采样f=2.44正弦函数波形.对照图5(d)兰色整周期采样f=2正弦函数波形. 8ap处理信号更逼近整周期采样.

图5(e)16ap处理信号中红色是经过16ap预处理后非整周期采样f=2.44正弦函数波形.对照图5(e)兰色整周期采样f=2正弦函数波形. 16ap处理信号更逼近整周期采样.

clc;clear;clf;close all;.

N=32;f=2.4;p0=0;

win=ones(1,N);

win1=win/sum(win);

t=0:N-1;

s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);

s=s.*win1;

subplot(411),plot(s/max(s),'r.-'),grid;

hold on;

t=0:N-1;

s=sin(pi*2*t*2/N+p0*pi/180);

s=s.*win1;

subplot(411),plot(s/max(s),'b.-');ylim([-1,1]);xlim([1,N]);

title('(a) fft signal');

legend('f=2.4','f=2');.

win2=conv(win,win);

win2=win2/sum(win2);

t=-N+1:N-1;

s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);

s1=s.*win2;

sa=s1(N:end)+[0 s1(1:N-1)];

subplot(412),plot(sa/max(sa),'r.-'),grid;xlim([1N]);

hold on;

t=-N+1:N-1;

s=sin(pi*2*t*2/n+p0*pi/180);

s1=s.*win2;

sa=s1(N:end)+[0 s1(1:N-1)];

subplot(412),plot(sa/max(sa),'b.-');

title('(b) apfft signal');

legend('f=2.4','f=2');.

t=-2*N+2:2*N-2;

s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);

win2=conv(win,win);

win4=conv(win2,win2);

win4=win4/sum(win4);

s2=s(1:4*N-3);

s22=s2.*win4;

sb=[0 0 s22(1:N-2)]+s22(N-1:2*n-2)+s22(2*N-1:3*N-2)+[s22(3*N-1:4*N-3) 0];

subplot(413),plot(sb/max(sb),'r.-'),grid;xlim([1,N]);

hold on;

t=-2*N+2:2*N-2;

s=sin(pi*2*t*2/N+p0*pi/180);

s2=s(1:4*N-3);

s22=s2.*win4;

sb=[0 0 s22(1:N-2)]+s22(N-1:2*N-2)+s22(2*N-1:3*N-2)+[s22(3*N-1:4*N-3) 0];

subplot(413),plot(sb/max(sb),'b.-');

title('(c) 4cfft signal');

legend('f=2.4','f=2');

t=-4*N+4:4*N-4;

s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);

win2=conv(win,win);

win4=conv(win2,win2);

win8=conv(win4,win4);

win8=win8/sum(win8);

s2=s(1:8*N-7);

s22=s2.*win8;

sb=[0 0 0 0 s22(1:N-4)]+s22(N-3:2*N-4)+s22(2*N-3:3*N-4)+s22(3*N-3:4*N-4)+s22(4*N-3:5*N-4)+s22(5*n-3:6*N-4)+s22(6*N-3:7*N-4)+[s22(7*N-3:8*N-7) 0 0 0];

subplot(414),plot(sb/max(sb),'r.-'),grid;xlim([1,N]);

hold on;

t=-4*N+4:4*N-4;

s=sin(pi*2*t*2/N+p0*pi/180);

s2=s(1:8*n-7);

s22=s2.*win8;

sb=[0 0 0 0 s22(1:N-4)]+s22(N-3:2*N-4)+s22(2*N-3:3*N-4)+s22(3*N-3:4*N-4)+s22(4*N-3:5*N-4)+s22(5*N-3:6*N-4)+s22(6*N-3:7*N-4)+[s22(7*N-3:8*N-7) 0 0 0];

subplot(414),plot(sb/max(sb),'b.-');

title('(c) 8cfft signal');

legend('f=2.4','f=2');

cos2t    -8.6736e-18

cos2.3t    0.0758       0.00574564

2p           0.0126       0.00015876

4p           3.9899e-17

cos6      3.9899e-017

cos5.7    0.0213      0.045363

2p          0.0021      4.41e-6

4p          1.2209e-6

sin2t        8.6738e-18

sin2.4t     0.0529              0.00279841        

2ap          0.016                2.56e-4

4ap          2.5551e-4         6.52853601e-8

8ap          6.5283e-8         4.261870089e-16

16ap        4.2188e-15