我2023/3/6与ChatGPT对话到最后一个问题中断后，我今天用中文再问此问题，此外还有二个法国网友用法语问ChatGPT和Bing这个问题，分享如下：

一，柳渝再问ChatGPT

二，Manuel Guérin代问ChatGPT【1】

柳渝：当罗素悖论出现在集合论中时，它被认为是一种危 机，人们努力地去消除它。那么，当说谎者悖论悖论出现在哥德尔的证明中时，为什么人们没有同样的警惕，反而把悖论命题当中正常的算术命题? 

ChatGPT：罗素悖论确实被视为集合理论的危机，因为它突出了形式系统中的内部矛盾。这导致了通过限制集合理论的公理和发展替代理论来消除矛盾的努力。

关于说谎者悖论和哥德尔的证明，重要的是要注意到，当哥德尔的证明在1931年发表时，数学家和逻辑学家认真地对待它的含义。哥德尔的证明表明，形式化的数学系统不可能既一致又完备，这对数学哲学和可计算性理论产生了深刻的影响。

哥德尔的自指命题被认真地视为一个在所考虑的形式系统中是真实的但不可判定的命题。这被理解为表明绝对真理不能被有限的形式系统所捕获。哥德尔的自指命题也导致了递归理论的重要发展，该理论现在是可计算性理论的一个基本分支。

综上所述，哥德尔证明中的说谎者悖论一直被非常认真地对待，并导致了数学哲学和可计算性理论的重要发展。哥德尔证明的含义从其发表时起就被数学家和逻辑学家所理解，哥德尔的自指命题被认为是一个重要的命题，显示了有限形式系统的极限。

Yu : Lorsque le paradoxe de Russell est apparu dans la théorie des ensembles, il a été considéré comme une crise, et les gens ont travaillé dur pour l’éliminer. Alors, quand le paradoxe du menteur est apparu dans la preuve de Gödel, pourquoi les gens n’ont-ils pas eu la même vigilance et ont plutôt pris la proposition du paradoxe comme un énoncé arithmétique vrai ?

ChatGPT : Le paradoxe de Russell a effectivement été considéré comme une crise dans la théorie des ensembles car il a mis en évidence une contradiction interne dans le système formel. Cela a conduit à des efforts pour éliminer la contradiction en restreignant les axiomes de la théorie des ensembles et en développant des théories alternatives.

En ce qui concerne le paradoxe du menteur et la démonstration de Gödel, il est important de noter que les mathématiciens et les logiciens ont pris au sérieux les implications de la démonstration de Gödel dès qu’elle a été publiée en 1931. La preuve de Gödel a montré que les systèmes formels mathématiques ne peuvent pas être à la fois cohérents et complets, et cela a eu un impact profond sur la philosophie des mathématiques et sur la théorie de la calculabilité.

La proposition auto-référentielle de Gödel a été prise au sérieux comme une proposition qui était vraie mais indécidable dans le système formel considéré. Cela a été compris comme une indication que la vérité absolue ne peut pas être capturée par des systèmes formels finis. La proposition auto-référentielle de Gödel a également conduit à des développements importants dans la théorie de la récursivité, qui est maintenant une branche fondamentale de la théorie de la calculabilité.

En résumé, le paradoxe du menteur dans la preuve de Gödel a été pris très au sérieux et a conduit à des développements importants dans la philosophie des mathématiques et la théorie de la calculabilité. Les implications de la démonstration de Gödel ont été bien comprises par les mathématiciens et les logiciens dès sa publication, et la proposition auto-référentielle de Gödel a été considérée comme une proposition importante qui a montré les limites des systèmes formels finis.

三，ilicitano代问AI Bing【1】

柳渝：当罗素悖论出现在集合论中时，它被认为是一种危 机，人们努力地去消除它。那么，当说谎者悖论悖论出现在哥德尔的证明中时，为什么人们没有同样的警惕，反而把悖论命题当中正常的算术命题? 

Bing：

罗素悖论产生于朴素集合论，它承认无限理解的原则¹²。这个原则允许任何集合由一个属性来定义¹²。罗素通过考虑不包含自身的集合¹²⁵，表明这一原则导致了一个矛盾。这个集合既不是自己的元素，也不是自己的非元素，而不存在矛盾。

说谎者悖论并没有出现在哥德尔的证明中，而是更早出现在古典逻辑中。哥德尔使用了一种类似于说谎者的技术来构建他的不可判定语句，但他并没有把它作为一个真正的算术语句。相反，他表明，如果所考虑的形式系统是一致的（即不包含矛盾），那么他的陈述是真实的，但不可判定的⁴。因此，他没有在形式系统中引入任何矛盾，但他强调了其不完备性⁴。

人们对说谎者悖论和罗素悖论同样警觉，但他们的反应却因背景不同而不同。说谎者悖论导致了对逻辑学基础的质疑，并导致了替代性或准一致性逻辑的发展³。罗素悖论导致了对数学基础的质疑，并发展了公理或非标准的集合理论¹ [^2 ^]。

Yu:
Lorsque le paradoxe de Russell est apparu dans la théorie des ensembles, il a été considéré comme une crise, et les gens ont travaillé dur pour l’éliminer. Alors, quand le paradoxe du menteur est apparu dans la preuve de Gödel, pourquoi les gens n’ont-ils pas eu la même vigilance et ont plutôt pris la proposition du paradoxe comme un énoncé arithmétique vrai ?

Bing:
Le paradoxe de Russell est apparu dans la théorie naïve des ensembles, qui admettait le principe de compréhension illimité¹². Ce principe permettait de définir n’importe quel ensemble à partir d’une propriété¹². Russell a montré que ce principe entraînait une contradiction en considérant l’ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes¹²⁵. Cet ensemble ne peut être ni élément de lui-même ni non-élément de lui-même sans contradiction.

Le paradoxe du menteur n’est pas apparu dans la preuve de Gödel, mais dans la logique classique bien avant³. Gödel a utilisé une technique similaire à celle du menteur pour construire son énoncé indécidable, mais il ne l’a pas pris comme un énoncé arithmétique vrai. Il a plutôt montré que si le système formel considéré est cohérent (c’est-à-dire qu’il ne contient pas de contradiction), alors son énoncé est vrai mais indémontrable⁴. Il n’a donc pas introduit de contradiction dans le système formel, mais il a mis en évidence son incomplétude⁴.

Les gens ont eu la même vigilance face au paradoxe du menteur et au paradoxe de Russell, mais ils ont réagi différemment selon le contexte. Le paradoxe du menteur a conduit à remettre en question les fondements de la logique et à développer des logiques alternatives ou paraconsistantes³. Le paradoxe de Russell a conduit à remettre en question les fondements des mathématiques et à développer des théories des ensembles axiomatiques ou non-standard¹ [^2 ^].

Source : conversation avec Bing, 06/03/2023(1) Paradoxe de Russell — Wikipédia. https://bing.com/search?q=paradoxe+de+Russell Consultée 06/03/2023.
(2) Paradoxe de Russell — Wikipédia. https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell Consultée 06/03/2023.
(3) Théorie naïve des ensembles — Wikipédia. https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_na%C3%AFve_des_ensembles Consultée 06/03/2023.
(4) Paradoxe de Russell – Définition et Explications – Techno-Science.net. https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Paradoxe-de-Russell.html Consultée 06/03/2023.
(5) Russell’s paradox – Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox Consultée 06/03/2023.

参考文献：

【1】

https://www.pauljorion.com/blog/2023/03/06/paul-jorion-yu-li-vs-godel-quen-pense-chatgpt/comment-page-1/#comment-949642