0   前文论及曾侯乙联禁铜壶，禁长117.5、宽53.4 cm以及铜壶圈足直径40.6 cm满足

21.36*5.5 = 117.480，21.36*2.5=53.400，21.36*19 = 40.584

这意味着设计尺寸为精确的五尺五寸、二尺五寸和一尺九寸，而21.36 cm 是青铜成形冷缩之后的表观尺长，并非冶师手中尺件的长度。铜禁设计请参见前文说明。

1   青铜的线膨胀系数约为18*10^(–6)/℃，青铜熔点可低达800 ℃，降至室温即780 ℃的自由冷缩量就是1.4 %。该数据得到众多文献使用，但并未考虑青铜中含锡、铅比例的影响。为了保证青铜熔液的流动——某些容器的器壁可薄至1.5 mm 左右，注入型腔时温度可高达1200℃；不过，铜液温度降低对内芯并没有收缩应力，内径的冷缩或许会略小。

鹿角立鹤底座44.5 * 42.4 cm，是尺长21.20 cm 的二尺一寸欠0.2 mm和二尺，平板外凸底座似可近于自由冷缩，冶师使用尺件的长度为21.20 / (1–0.014) =21.50。原始数据误差为±0.5 mm，相对误差约0.1%，故而实际尺长为21.50 cm±0.25 mm。又，范芯受热总有些膨胀，底座冷缩也受些阻碍，影响因素众多，这里只是初略的估算。

2    不过，多数青铜器成形后的冷缩受到内芯阻碍，实际冷缩数值与器物形状及内芯材质相关。如果内芯刚度较高不能充分退缩，则降温过程中青铜的热应力可能超过屈服强度而产生塑性变形，若有应力集中还可能引起破坏。青铜成形后的冷缩可以小于通常所说的受阻冷缩1.2%。

以浇铸薄壁圆环为例，若内芯绝对刚性而完全没有退缩，则成形之后温度降低约300℃的冷缩变形约0.24%已全部转换为弹性变形，青铜屈服而产生塑性变形。降低至室温后剔除内芯则弹性变形恢复，等同于冷缩量。内芯不可能是绝对刚性，冷缩量当然大于0.24%，但小于1.2% 是可能的。上述铜禁表面多处凹陷而受到泥芯的夹持，并不能自由冷缩至1.4%。铜禁表观尺长21.36 cm， 冶师尺长想来不会大于21.55 cm，即冷缩在0.88% 之内。

3   古代冶师知道青铜冷缩，制作内芯时会选用适合材料以充分退让，想来也会对控制部位的尺寸予以适当修正。安徽博物馆藏铸客大鼎 (下左)重400 kg，适用秦尺23.1 cm，通高113 cm四尺九寸欠1.9 mm，口径87 cm三尺八寸欠7.8 mm（图上测算口内径三尺五寸，口沿宽及厚皆一寸半），耳高36.5 cm一尺六寸欠4.6 mm，而腹围290 cm即腹径92.31 cm四尺、腹深52 cm二尺二寸半及足高67 cm二尺九寸，偏差皆小于1 mm。

 铸客升鼎 (上右)重38.5 kg，通高 51二尺二寸过1.8 mm，口径48二尺一寸欠5.1 mm，底径45.5二尺欠7 mm，足高33.5一尺四寸半整，腹围145 即腹径46.15 cm二尺，都是以秦尺23.1 cm计算。相关讨论请参阅“铭文和铸客”。

上述数据来自网络，或有±2.5 mm 的误差，并不能仔细讨论，但大鼎口径和耳高、升鼎口径和底径皆偏小1 % 左右或源于冷缩。不过，由腹围计算腹径的误差小于1 mm， 大鼎和升鼎腹径四尺和二尺，表明冶师已考虑青铜冷缩将腹部尺寸适当放大。

4    两件铜鼎通高的计算偏差是欠1.9 mm和过1.8 mm，在数据精度范围之内，即通高没有受到青铜成形冷缩的显著影响。如此器物很多，略述适用周尺21.5 cm的三件。 

博文曾介绍新乡博物馆藏父己方鼎，通高21.5一尺整，口长17、口宽12.7 cm即八寸和六寸皆欠 2.0 mm，所欠意味着冷缩。数据精度尚不能精确计算冷缩比例。

曾侯乙甗口径46.9 cm 二尺二寸欠4 mm，通高64.6 cm 三尺过1 mm (数据来自文[2]，文[3]未介绍口径，但通高64.9 cm 三尺过4 mm 或两侧耳高不同，重皆33.4 kg)。

陕西庄白窖藏出土西周铜甗，文[4] 有四张照片和准确的线条图，适用周尺21.5 cm 没有疑问。甑外侧高一尺、与鬲相接处宽一尺，耳高和宽皆三寸；更有箅19.3 cm 九寸欠0.5 mm、宽12.8 cm 六寸欠1 mm，但是通高47.6 cm二尺二寸过3 mm。

青铜器在高度方向同样存在成形冷缩，但上述五件器物通高与设计值似乎没有偏小，部分还略有偏大。其间缘由笔者尚不能知道，或许铜液重量(静水压力)引起了形腔纵向增大。

5  器物具有尺寸，意味着用合适的尺件量测恰当的部位应该规整，或者说以厘米为单位的数据除以“寸长”所得规整。只要器物制作时使用了尺件，就“收藏”了尺度的信息；若有同一尺件制作的多个长度数据，就能确定“寸长”。需要注意的是，利用泥范铸造的青铜器，实际尺寸受到冷缩等因素的影响，冶师也可能对范芯的部分尺寸预做修正。

[1] 苏荣誉. 商周青铜铸造泥模范的七个问题. 南方文物，2020, (3):235-244

[2]  湖北省博物馆. 随县曾侯乙墓. 文物出版社, 1980.

[3]  湖北省博物馆. 曾侯乙墓文物艺术. 湖北美术出版社, 1992.

[4]  曹玮. 周原出土青铜器．巴蜀书社，2005. 974-978