2、令人迷惑的光学偏振现象

有一个典型的光学现象：当一束自然光通过一块理想的线偏振片时，必定转换成与该线偏振片取向相同的线偏振光，强度为原先的二分之一。这是经验事实，任何人都可以重复验证。与此直接关联的是，如果2块取向垂直的线偏振片重叠放置，则自然光将完全不能透过，这也没有任何疑问。问题产生于在这2块互相垂直的线偏振片之间插入第3块线偏振片时发生的现象，任何人都可以通过实验给出确凿无疑的结果，只要其偏振取向与另外2块互相垂直的线偏振片的偏振取向都不同，那么就会有光透过，这是怎么回事？著名英国科普作家格利宾在他寻求解决量子力学奥秘的著作里，不止一次地列举这个例子[1、2]，他说：

…这就好象是，我们将两道栅栏合在一起就可以百分之百地将野兽挡在外面以保护我们的财产。出于保险起见，我们决定在这两重栅栏之间建立第三重栅栏，以加强安全防护。令人感到惊奇的是，我们发现一些被两重栅栏就可以挡在外面的野兽现在却毫无困难地走了进来，好象三重栅栏都不存在一样。

这里有两个关联的问题，第一，为什么当一束自然光通过任何取向的线偏振片后，不仅转换成与该线偏振片取向相同的线偏振光，而且强度是原先的二分之一？第二，为什么插入第3块与另外2块互相垂直的线偏振片的偏振取向都不同的线偏振片后，自然光反而从不能通过变成部分通过？根据普遍的认识，第二个问题相对容易解释：因为经过第一块线偏振片后，自然光已经转换成线偏振光，对后续的第二块线偏振片，先是根据矢量的合成分解法则，按照其偏振取向将入射的线偏振光分解成垂直分量和平行分量，垂直分量不能通过，而平行分量则可以通过并构成新的线偏振光；继而根据光强正比于光矢量振幅的平方，按照直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的几何学法则，所以平行分量的光强与垂直分量的光强之和就等于入射线偏振光强，这就是著名的马吕斯定律。因此，只要任何相继的两块线偏振片的偏振取向不是互相垂直，那么无论多少块线偏振片重叠在一起，对于初始入射的自然光，最后总会有部分线偏振光透过。

关键集中在第一个问题上，作者曾经讲授过量子光学课程，当时为此查阅过大量的文献资料，其解释大同小异，或者说同出一辙，然而都含糊不清，列举如下：

（1）对于这种没有任何方向更占优势的自然光，可以用任意两个相互垂直而等幅的振动来表示。它们是所有各个方向上的振动在这两个垂直方向上投影的结果，因此自然光可以看成是两个振动方向相互垂直的、强度相等的线偏振光。[3]

（2）由于自然光中各振动的对称分布，它们沿任何方向的分量造成的强度I都一样，它等于总强度I₀之半…[4]

（3）作为一种合理的模型，可以认为光波以相等的概率，呈现为各种可能方向上的线偏振光。如果用偏振片和光功率计来测量，则不论偏振片转到什么方向，光功率计都有相同的读数。[5]

（4）由于自然光可以分解成振动方向互相垂直，振幅相等的两个独立线偏振光，所以自然光的总强度等于每个线偏振光的光强的2倍。[6]

（5）We can mathematically represent natural light in terms of two arbitrary,incoherent, orthogonal,

linearly polarized waves of equal amplitude.[7]

（6）A wave of natural light may be regarded ascomposed of two incoherent waves of equal amplitudes,

propagated in the samedirection and polarized in directions at right angles to each other.[8]

本作者判断，所有这些说法基本上都源自于文献[8]，即玻恩和沃耳夫的光学原理，公认的世界名著，说的是：“一个自然光波可以看作是由两个具有相等振幅、沿同一方向传播、极化方向互成直角的、不相干的线偏振光组成”。该说法本身并没有错，是完全正确的，然而也仅此而已，只不过是经验事实的归纳和总结，并不能用来作为该现象的解释。只有实现了文献[7]的说法：“我们可以从数学上借助于两个任意的、不相干的、垂直的、具有相等振幅的线偏振光表示自然光”，才是对该现象的理论解释。本博主直到现在仍然认为文献[7]的该说法不会是空穴来风，必定有所根据，不料经过广泛查阅却一无所获，甚至求助研究生们帮助搜寻也没有结果，一直没有找到相应的数学公式表述。这件事让作者困惑了很长时间，如果没有数学公式的佐证，那么上面罗列的所有解释都只能被认为是猜想。

令人感到庆幸的是，本博主牵头在10年前曾自行导出了这个猜测的数学公式表述[9]，下面列出最终结果的简化表述。数学上可将沿Z轴方向传播的单色平面光波在直角坐标系下表示为：cos(ωt-кz)·(i cosφ+j sinφ)，其中粗体的i和j分别是X轴和Y轴上的单位矢量，第一项cos(ωt-кz)表示沿轴方向传播的单色光波，第二项(i cosφ+j sinφ)表示其振动方向在XY平面内，如果角度φ在[0,2π] 区间均匀分布，那就是自然光，如果选取φ=θ为[0,2π] 区间的某个确定值，那就是沿θ方向的线偏振光。我们得到的最终结果是：

     cos(ωt-кz)·(i cosφ+j sinφ)

  ≡cos(ωt-кz)·{cos(φ-θ)·(i cosθ+j sinθ)+sin(φ-θ)·[i cos(θ+π/2)+j sin(θ+π/2)]}

左式仍然表示沿轴方向传播的单色平面光波，其中的φ在[0,2π]区间均匀分布，意味着自然光；右式花括号中的两项，分别表示任意θ方向和(θ+π/2)方向的线偏振。该恒等式可以很方便地倒过来验证，利用三角函数的恒等关系cos(θ+π/2)≡-sinθ、sin(θ+π/2)≡cosθ以及常用的和差化积公式容易确认：

cos(φ-θ)·×(i cosθ+j sinθ)+sin(φ-θ)·×[i cos(θ+π/2)+j sin(θ+π/2)]

      =i [cosθ·×cos(φ-θ)-sinθ·×sin(φ-θ)]+j [sinθ·×cos(φ-θ)+cosθ·×sin(φ-θ)]

      =i cos(θ+φ-θ)+jsin(θ+φ-θ)

      =i cosφ+j sinφ

这个式子虽然倒过来验证极其方便，但是正过来导出却相当困难，当初本人凭借所掌握的数学知识和技巧根本就无从下手。只是借助于对光子的量子力学描述新认识，关键是对仅包含光子能量特征和光子动量特征的光子波函数增添了光子的角动量属性，致使原先的波函数在形式上必须采用复矢量的形式，并将其命名为光子态势函数，就可以用来方便地处理光学极化现象，包括导出上述将自然光分解为任意取向正交线偏振光的数学表达式，同时还给出了解释马吕斯定律的数学表达式。

参考文献：

[1]J. Gribbin, InSearch of Schrödinger's Cat : Quantam Physics And Reality (Bantam Books,Toronto, 1984)

[2]  J. Gribbin, Schrödinger's Kittens and theSearch for Reality (Little, Brown and Company, Boston, 1995)

[3] 陈熙谋，《光学·近代物理》，p.103，2002

[4] 赵凯华、钟锡华，《光学·》，上册 p.239，1984

[5] 王楚、汤俊雄，《光学·》，p.27，2001

[6] 吴强、郭光灿，《光学·》，p.275，2001

[7] Hecht，《Optics》 4^th edition，p.330，2002

[8] Born and Walf，《Principle ofOptics》7th (expanded) edition, p.780，1999.

[9]  姚志欣等，光子的态矢量函数，物理学报，55 (5)，2158-2164，2006