一一对应的验算   

                                              李鸿仪 Leehyb@139.com

     摘要：给出了验算所建立的一一对应是否正确的方法。通过验算证明:任何无限集合不可能与其任一真子集一一对应。同时纠正了自然集合定义中的错误等基础性问题，认为充满哲学色彩的数学基础领域需要一场刮骨疗毒式的去哲学化启蒙运动。
关键词:无限集合；真子集；一一对应；验算，自然集合的定义

    我们都知道验算在数学中的重要性，比如说我们做加法的时候，常常需要用减法来验算；做乘法的时候需要用除法来验算。

    在两个集合间建立一一对应的时候，其实我们也需要验算，看看我们建立起来的双射函数是不是真的是这两个集合之间的双射函数。

    验算的方法其实很简单，以在集合A，B之间建立双射函数为例，假定我们认为已经找到了互相之间的双射函数b=f(a)，只要看看集合{b|b=f(a)，a∈A}与B是不是同一个集合即可完成验算:是则双射函数正确，否则就错误。

    例如，在集合N₁={0}∪N与其真子集N={1，2，3……}之间，如果我们认为找到了双射函数n’=n-1，则我们只要考察集合N’={ n’| n’=n-1，n∈N}是不是集合N₁即可：是则双射正确，否则则不正确。

    不难发现，虽然集合N₁和N’的列出式都是{0，1，2，3……}，但N′与N一一对应，由一一对应的定义可知，N′的元素数目与N严格一致:对任何一个n∈N，有且只有一个n’=n-1∈N’(单射)，且对任何一个n’∈N’,有且只有一个n=n’+1∈N(满射)。但根据真子集的定义可知，任何无限集合的元素数目都比其真子集多，N₁的元素数目当然也比其真子集N多，这样，一方面集合N’的元素数目与N一样，另一方面N₁的元素数目又比N多，故N₁的元素数目比N′多，N₁与N′不可能是同一个集合，验算失败。

    上述验算虽然是以一个个例进行的，但是很容易推广到普遍情形，从而可以严格证明，任何无限集合都不可能与其任一真子集一一对应。

  再例如，有人提出这样一个问题：B={1,2,3,…}，A={x| x=z，z=y/2，z,y∈B}，显然A就是B中去掉奇数元素操作后得到的集合，故集合A的元素数目少于集合B，但对于A→B的单射f(x)=x/2，现在问：B中所有元素都在单射f所形成的像中吗？

  这个问题其实是问, 若设B’=｛u|u=x/2，x∈A｝，B=B’?

  由于B’的元素数目与A相同，A的元素数目又只有B的一半，所以等式不成立，验算失败。

  数学追求的是可靠性，验算可以大大增加其可靠性，漏了这一环往往容易出错。例如，以为找到了一个双射函数就以为必然可在两个集合之间建立一一对应，是不严谨的！

     不过，增加一种验算方法虽然是一个大好事，但是从根本上来说，还是要加强数学家的严格思维能力，否则，到处都是错误和不堪！

 只要思维严格，验算并非一定需要。比方说，我们只要做加法时足够仔细，未必一定要用减法来验算。一一对应也是如此，只要我们足够仔细，那也不一定需要验算的。

    比如说，任何集合和真子集之间可以建立一一对应，本身就是自相矛盾的:所谓一一对应就是用单射一一配对后没有剩余(是单射也是满射)，幼儿园的小朋友也明白，两个集合的元素数目应该是一模一样的，否则怎么可能做到一一配对后没有剩余呢？但任何集合的元素数目又显然比其真子集多，怎么可能在两者之间建立一一对应呢？这个自相矛盾太明显了，这么明显的自相矛盾，竟然一百多年未被发现，即使被发现了也得不到数学界的承认，可能一直到我验算以后数学界才不得不承认，且还不排除为了死要面子而拒不认错的可能性，这说明了什么问题呢？

 类似的例子还远不止这一个。以自然数集合为例，人们通常把它定义为已经包含所有自然数的集合。但这个哲学化的定义也明显是自相矛盾的:如果存在着已经包含所有自然数的集合，那就意味着，自然数已经不能再增加了，必然会导致各种矛盾！例如，N₂={x|x=2*n-1,n∈N}∪{x|x=2*n,n∈N}={1，3，5……，2，4，6......}={1，2，3……}，列出式与N也一样，但N₂比N多了一倍元素，与N并不是同一个集合。

假定N是已经包含了所有自然数的集合，那么N₂的元素也都是自然数，集合N₂-N非空且元素都是自然数，这些自然数是不可能包括在N里的，矛盾！

数学是严格的，不能用想当然的哲学思辨代替严格的数学推导，更不能为了方便而随意地把幻想和愿望当事实！比如说，一个已经包含了全体自然数的，已经完成并确定了的自然数集合，处理起来当然非常方便，然而这样集合根本不存在，怎么可以削足适履地把实际在无限增长的自然数集合当成这种幻想中的集合呢？

而且，上述自然数集合元素的倍增过程还可以无限地进行下去，设进行了∞次，形成了元素数目2↑∞倍于N的自然数集合……

所以，正确的自然数集合的定义应该是可以包含任何一个自然数的集合，但永远包含不了所有自然数。这是因为，自然数是可以永远增加的，这个增长过程永远不可能结束，所以根本就没有所有自然数这个概念。也就是说我们永远只能得到部分的自然数。尽管如此，部分的自然数也可以是无穷多的，且部分也有相对较大的部分，有相对较小的部分，这样就完美地解释了可以有不同大小的无限自然数集合。例如B和B′，N和N₂等，虽然列出式都是{1，2，3……}，且都是无限集合，但实际上是大小不等的自然数集合。

从这里也可以看到，认为只要列出式一样的集合，都可以用外延公理来证明它们是相同的集合，这个思维是太简单化了：元素数目不相同的自然数集和怎么可能是同一个集合呢？

有的人可能会认为，既然N和N₂不是同一个集合，且N₂比N大，那么就应该存在着属于N₂但不属于N的元素，这些元素是哪些呢？

如前所说，非空集合N₂-N里的自然数就是这些元素。

既然自然数集合不可能是已经包含了所有自然数的集合，而只是包含了部分自然数的集合，所以我们只能一部分一部分，甚至一个一个地研究。又由于每一个自然数都是有限的，因此所谓无限多的自然数就是对自然数的数目没有限制(无上界即无最大自然数)，所以我们可以1，2，3……一直研究下去，永无止境。由于N₂的元素数目是N的两倍，所以当N有1个元素1时，N₂有1，2两个元素，这时N₂中的2就是N没有的元素；当N有2个元素1，2时，N₂有1，2，3，4四个元素，这时N₂中的2，4就是N中没有的元素；当N有3个元素1，2，3时，N₂有1，2，3，4，5，6六个元素，这时N₂中的4，5，6就是N中没有的元素......

由于列出式只列出了部分元素，不可能详细地把上述过程列出来，所以列出式相同的集合实际上并不一定是同一个集合。

考虑问题要仔细，要考虑到其中每一个步骤，不能简单化地只看部分现象。

很多数学理论都建立在自然数集合是唯一的基础上，这些都要重新考察。以康托定理为例，其中的子集也可以用自然数编号，只是它是一个较大的自然数集合而已。

类似地，所谓已经确定了的实无限(EIGENTLICH -UNENDLICHES)^[1]集合，也是自相矛盾的:既然无限集合已经确定了，就说明它的元素数目已经被限定了，其实已经变成一个有限集合了！

充满哲学色彩的数学基础领域是否需要一场刮骨疗毒式的去哲学化启蒙运动，以恢复纯粹数学应有的尊严？

[1] 康托.超穷数理论基础，第二版，商务印书馆，2016